Limitazioni sulle condizioni iniziali di una EDO

[dragonspirit1]

salve ho un problema sulla soluzione di un ultimo quesito di un compito d'esame di analisi 2:
data l'equazione differenziale $ y'=2xy+4x $
si dovevano risolvere i seguenti punti:
- determinare y tale che soddisfi la condizione iniziale y(0)=0

e qui semplice problema di cauchy e ho trovato la generale soluzione
$ y=y_0e^(x^2)-2e^(x^2)(e^(-x^2)-e^(x_0^2) )
rightarrowy(0)=y_0-2(1-1) :=0
rightarrowy_0=0 $
quindi la soluzione è
$ y=-2e^(x^2)(e^(-x^2)-1 ) $


-calcolare il limite $ lim_(x rightarrow+oo) y(x) $ calcolata prima

e fa +inf

-determinare le soluzioni costanti :

y=2

-determinare i valori di $ alphainR $ tali che la soluzione dell'equazione differenziale che soddisfa le condizioni inziali $ y(0)= alpha $ sia positiva per. ogni x appartenente al dominio di y

e qui iniziano le confusioni (mie )

allora se voglio che sia positiva prendo l'equazione risolutiva con $ x_0=0 $ e quindi $ y=y_0e^(x^2)-2e^(x^2)(e^(-x^2)-1 ) $ e la impongo positiva
$ -2+e^(x^2)(y_0+2 )>0 rightarrowy_0>2/e^(x^2) -2 $

ma da prima so che $ y_0=alpha $

e trovo $ alpha>2/e^(x^2) -2 $ ma non so cosa ho trovato.

[ciampax]

Se osservi la forma in cui hai scritto la soluzione generale (quella in cui ci sono ancora $x_0,\ y_0$) vedrai che la soluzione generale dell'equazione è $y(x)=-2+c e^{x^2}$. Detto questo, valendo la condizione $y(0)=\alpha$ si deve avere $\alpha=-2+c\ \Rightarrow\ c=\alpha+2$. Allora devi determinare per quali valori di $\alpha$ si abbia che
$$y(x)=-2+(2+\alpha) e^{x^2}>0$$
per ogni $x$. Una idea possibile, è quella di imporre, ad esempio, che la funzione abbia un minimo assoluto non negativo, dal momento che il suo limite, per $x\to\pm\infty$ vale $+\infty$.

[dragonspirit1]

si ma solo con alpha >-2 fa infinito.....
cmq derivando si osserva che la funzione ha un minimo sempre in x=0 $ y(0)= -2+2+alpha rightarrow alpha>0 $

grazie:)

[ciampax]

Ah sì, il limite fa infinito con il segno dipendente da $c$, scusa la fretta di scrivere. Comunque mi pare che alla fine $\alpha>0$ sia la condizione da determinare.

[dragonspirit1]

posso chiedere un altra cosa? riguarda un altro esercizio