Limitazione di funzioni continue
Ringraziando coloro che hanno risposto all'altro mio quesito, in particolare Dissonance, approfitto ancora della bontà dei frequentatori di questo forum con un'altra domanda.
E' vero, data una funzione continua $f:\RR \rightarrow RR$, che qualche funzione del tipo $|f(x)|e^{-k|x|}$ sia limitata su $\RR$?
E' vero, data una funzione continua $f:\RR \rightarrow RR$, che qualche funzione del tipo $|f(x)|e^{-k|x|}$ sia limitata su $\RR$?
Risposte
strana domanda... mi sa che non l'ho capita.... sarà che sto guardando una puntata di reaper in questo momento 
...
cmq se prendi solo x>0 tipo... fissa i valori $f(n)=n!$ prolunga con rette il valore su tutto l'asse reale... questa funzione è t.c. $|f|e^(-kx)$ non è limitata per nessun k...
...cmq se prendi solo x>0 tipo... fissa i valori $f(n)=n!$ prolunga con rette il valore su tutto l'asse reale... questa funzione è t.c. $|f|e^(-kx)$ non è limitata per nessun k...
Mi sa che anch'io non ho capito bene la domanda.
Se $f(x) $ è un polinomio allora $|f(x)| e^(-k|x|) $ è limitata...se $k > 0 $ .
Se $f(x) $ è un polinomio allora $|f(x)| e^(-k|x|) $ è limitata...se $k > 0 $ .
su due piedi non vorrei dire fesserie, ma un primo pensiero potrebbe essere il seguente: (se la domanda va intesa su quali condizioni devono esistere su f affinchè la funzione totale risulti limitata)
abbiamo che $g(x)=|f(x)|e^(-k|x|)$ con $f:RR->RR$ continua.
$g(x)=|f(x)|/e^(k|x|)$ questa funzione ammette l'estremo inferiore, infatti $|f(x)|>=0$, $e^(k|x|)>0 =>g(x)>=0$ quindi $g:RR->RR^+$.
Il problema quindi sta nel capire quando è limitata superiormente. Bisogna quindi vedere, essendo la funzione continua, quando ammette asintoto orizzontale.
due casi supponendo k non nullo:
$k>0$ allora se $|f(x)|=O(e^(k|x|))$ cioè che $|f(x)|/e^(k|x|)<=C\in\RR$ oppure un o-piccolo... la funzione risulta limitata
se invece $k<0$ possiamo riscrivere $g(x)=|f(x)|*e^(k|x|)$ quindi per essere limitata e non essere una funzione banale, $f(x)=1/(k(x))$ quindi dovrà verificarsi che $e^(k|x|)=O(|k(x)|)$ per essere limitata
tutto valutando per $x\to\+oo$ che essendo la funzione pari è equivalente che studiarla per $x->-oo$.
Quindi se ammette limite all'infinito, possiamo prendere un chiuso abbastanza grande $[-n,n]$. In questo compatto la funzione ammetterà un massimo e un minimo e quindi, essendo continua, la funzione risulterà limitata.
una funzione che non è limitata è $f(x)=e^(x^2)$, supposto k>0 si ha che $lim_(xto+oo)e^(x^2)/e^(k|x|)=lim_(xto+oo)e^(x^2)/e^(kx)=lim_(xto+oo)e^(x^2)*e^(-kx)=lim_(xto+oo)e^(x^2-kx)=+oo
Penso di non aver scritto un numero eccessivo di cavolate... nel caso correggiete
abbiamo che $g(x)=|f(x)|e^(-k|x|)$ con $f:RR->RR$ continua.
$g(x)=|f(x)|/e^(k|x|)$ questa funzione ammette l'estremo inferiore, infatti $|f(x)|>=0$, $e^(k|x|)>0 =>g(x)>=0$ quindi $g:RR->RR^+$.
Il problema quindi sta nel capire quando è limitata superiormente. Bisogna quindi vedere, essendo la funzione continua, quando ammette asintoto orizzontale.
due casi supponendo k non nullo:
$k>0$ allora se $|f(x)|=O(e^(k|x|))$ cioè che $|f(x)|/e^(k|x|)<=C\in\RR$ oppure un o-piccolo... la funzione risulta limitata
se invece $k<0$ possiamo riscrivere $g(x)=|f(x)|*e^(k|x|)$ quindi per essere limitata e non essere una funzione banale, $f(x)=1/(k(x))$ quindi dovrà verificarsi che $e^(k|x|)=O(|k(x)|)$ per essere limitata
tutto valutando per $x\to\+oo$ che essendo la funzione pari è equivalente che studiarla per $x->-oo$.
Quindi se ammette limite all'infinito, possiamo prendere un chiuso abbastanza grande $[-n,n]$. In questo compatto la funzione ammetterà un massimo e un minimo e quindi, essendo continua, la funzione risulterà limitata.
una funzione che non è limitata è $f(x)=e^(x^2)$, supposto k>0 si ha che $lim_(xto+oo)e^(x^2)/e^(k|x|)=lim_(xto+oo)e^(x^2)/e^(kx)=lim_(xto+oo)e^(x^2)*e^(-kx)=lim_(xto+oo)e^(x^2-kx)=+oo
Penso di non aver scritto un numero eccessivo di cavolate... nel caso correggiete
Scusa fu^2, ma mica tutte le funzioni limitate ammettono asintoto orizzontale in $+oo$... Ad esempio $|sin x|$.
In ogni caso, il controesempio che riporta fu^2 alla fine del suo post mi pare illuminante e degno di generalizzazione.
Se $F:[0,+oo[ \to [0,+oo[$ è una funzione continua ed infinita in $+oo$ d'ordine superiore rispetto a $x$ allora la funzione $f(x)=e^(F(|x|))$ non gode della proprietà che richiedeva Cheva: infatti si ha, per ogni $k>0$, $|f(x)|e^(-k|x|)=e^(F(|x|)-k|x|)$ epperò è:
$\quad lim_(x\to \pm oo)e^(F(|x|)-k|x|) =\lim_(y\to +oo) e^(F(y)-ky)=\lim_(y\to +oo) e^(F(y)*(1-ky/(F(y)))) =+oo$.
In ogni caso, il controesempio che riporta fu^2 alla fine del suo post mi pare illuminante e degno di generalizzazione.
Se $F:[0,+oo[ \to [0,+oo[$ è una funzione continua ed infinita in $+oo$ d'ordine superiore rispetto a $x$ allora la funzione $f(x)=e^(F(|x|))$ non gode della proprietà che richiedeva Cheva: infatti si ha, per ogni $k>0$, $|f(x)|e^(-k|x|)=e^(F(|x|)-k|x|)$ epperò è:
$\quad lim_(x\to \pm oo)e^(F(|x|)-k|x|) =\lim_(y\to +oo) e^(F(y)-ky)=\lim_(y\to +oo) e^(F(y)*(1-ky/(F(y)))) =+oo$.
si non avevo pensato alle funzioni periodiche... diciamo che le condizioni trovate non sono proprio le più generali possibili...
Vabbè, però non è nemmeno vero che le funzioni limitate senza asintoto orizzontale in $\pm oo$ sono tutte necessariamente periodiche... Ad esempio $1+sin x^2$ non è periodica né ha asintoto orizzontale epperò è limitata.
Bene, allora pongo un'altra domanda (non dimenticando di ringraziare chi è intervenuto): è possibile introdurre una norma sullo spazio vettoriale delle funzioni continue $RR \rightarrow RR$?
Mi rivolgo in particolare agli analisti...
Tutte le topologie di uso comune che si mettono sullo spazio delle funzioni continue non sono normabili, quindi anche se esistesse una norma non sarebbe utile. Sul fatto che non possa esistere io non lo so.
Grazie per la risposta. Potresti fornirmi qualche riferimento bibliografico?
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