Limitatezza o "convergenza (di Cauchy ?)":\(f: \Bbb{N}\to \Bbb{R}, n \to a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n}}\)
Salve a tutti,
prendendo \( a,b \in \Bbb{R}\), e \( a>0 \), ho questa successione $$f: \Bbb{N}\to \Bbb{R}, n \to a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n}}$$ riesco a dimostrare che quella funzione, essendo \( a >0 \), è costante per \( a= 1 \), è crescente per \( a>1 \) e decrescente per \( 01 \) e \(0
io ho pensato di vedere se è di Cauchy in quei due casi, se lo è allora è limitata e convergente .. ma non riesco a portare avanti il ragionamento.
Ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi!
Saluti
P.S.=Potrei vedere se esiste un minorante e maggiorante per \( f(\Bbb{N}) \), riesco a vedere facilmente che per ambedue i casi \(0 \) è un minorante per \(f(\Bbb{N}) \).. se solo riuscissi a trovare anche un maggiorante (distinto anche per i due casi) avrei finito senza scomodare Cauchy ..
prendendo \( a,b \in \Bbb{R}\), e \( a>0 \), ho questa successione $$f: \Bbb{N}\to \Bbb{R}, n \to a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n}}$$ riesco a dimostrare che quella funzione, essendo \( a >0 \), è costante per \( a= 1 \), è crescente per \( a>1 \) e decrescente per \( 0
io ho pensato di vedere se è di Cauchy in quei due casi, se lo è allora è limitata e convergente .. ma non riesco a portare avanti il ragionamento. Ringrazio anticipatamente chiunque voglia aiutarmi!
Saluti
P.S.=Potrei vedere se esiste un minorante e maggiorante per \( f(\Bbb{N}) \), riesco a vedere facilmente che per ambedue i casi \(0 \) è un minorante per \(f(\Bbb{N}) \).. se solo riuscissi a trovare anche un maggiorante (distinto anche per i due casi) avrei finito senza scomodare Cauchy ..
Risposte
mmm ci penso e ci ripenso.. ed ho pensato, sperando di non sbagliare 
:
per \( a>1 \) avrei che \( \forall n \in \Bbb{N} ((f(n) \leq a^{\lfloor b \rfloor}+1)\)
per \( 0
... spero in un consiglio di qualche utente!
Saluti
P.S.=Sinceramente avrei qualche perplessità...
:per \( a>1 \) avrei che \( \forall n \in \Bbb{N} ((f(n) \leq a^{\lfloor b \rfloor}+1)\)
per \( 0
... spero in un consiglio di qualche utente!
Saluti
P.S.=Sinceramente avrei qualche perplessità...
A parte il solito "pesantume" notazionale, l'idea è quella di guardare cosa succede nell'esponente.
Chiaramente la successione degli esponenti converge verso \(b\)[nota]Invero, sia:
\[
b=\beta + \sum_{k=1}^\infty \frac{\gamma_k}{10^k}\; ,
\]
con \(\beta:= \lfloor b\rfloor\in \mathbb{Z}\) e \(\gamma_1,\ldots, \gamma_k,\ldots \in \{0,1,\ldots ,8,9\}\), una rappresentazione decimale di \(b\). Si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\lfloor b \cdot 10^0 \rfloor}{10^0} &= \beta\\
\frac{\lfloor b \cdot 10^1 \rfloor}{10^1} &= \frac{1}{10}\ \left\lfloor 10\beta + \gamma_1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{\gamma_k}{10^{k-1}} \right\rfloor\\
&=\frac{1}{10} \left( 10\beta + \gamma_1\right)\\
&=\beta + \frac{\gamma_1}{10}\\
\frac{\lfloor b \cdot 10^2 \rfloor}{10^2} &= \frac{1}{10^2}\ \left\lfloor 100\beta + 10\gamma_1 + \gamma_2 + \sum_{k=3}^\infty \frac{\gamma_k}{10^{k-2}} \right\rfloor\\
&=\frac{1}{100} \left( 100\beta + 10\gamma_1+\gamma_2\right)\\
&=\beta + \frac{\gamma_1}{10}+ \frac{\gamma_2}{100}\\
&\vdots\\
\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n} &= \frac{1}{10^n}\ \left\lfloor 10^n\beta + 10^{n-1}\gamma_1 + 10^{n-2}\gamma_2 +\cdots +10\gamma_{n-1} + \gamma_n + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{\gamma_k}{10^{k-n}} \right\rfloor\\
&=\frac{1}{100} \left( 10^n\beta + 10^{n-1}\gamma_1 + 10^{n-2}\gamma_2 +\cdots +10\gamma_{n-1} + \gamma_n\right)\\
&=\beta + \frac{\gamma_1}{10}+ \frac{\gamma_2}{100} +\cdots +\frac{\gamma_{n-1}}{10^{n-1}} + \frac{\gamma_n}{10^n}\\
&\vdots
\end{split}
\]
sicché la successione degli esponenti è quella di termine generale \(\beta + \sum_{k=1}^n \frac{\gamma_k}{10^k}\), la quale converge verso \(b\) per definizione.[/nota], quindi...
Chiaramente la successione degli esponenti converge verso \(b\)[nota]Invero, sia:
\[
b=\beta + \sum_{k=1}^\infty \frac{\gamma_k}{10^k}\; ,
\]
con \(\beta:= \lfloor b\rfloor\in \mathbb{Z}\) e \(\gamma_1,\ldots, \gamma_k,\ldots \in \{0,1,\ldots ,8,9\}\), una rappresentazione decimale di \(b\). Si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\lfloor b \cdot 10^0 \rfloor}{10^0} &= \beta\\
\frac{\lfloor b \cdot 10^1 \rfloor}{10^1} &= \frac{1}{10}\ \left\lfloor 10\beta + \gamma_1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{\gamma_k}{10^{k-1}} \right\rfloor\\
&=\frac{1}{10} \left( 10\beta + \gamma_1\right)\\
&=\beta + \frac{\gamma_1}{10}\\
\frac{\lfloor b \cdot 10^2 \rfloor}{10^2} &= \frac{1}{10^2}\ \left\lfloor 100\beta + 10\gamma_1 + \gamma_2 + \sum_{k=3}^\infty \frac{\gamma_k}{10^{k-2}} \right\rfloor\\
&=\frac{1}{100} \left( 100\beta + 10\gamma_1+\gamma_2\right)\\
&=\beta + \frac{\gamma_1}{10}+ \frac{\gamma_2}{100}\\
&\vdots\\
\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor}{10^n} &= \frac{1}{10^n}\ \left\lfloor 10^n\beta + 10^{n-1}\gamma_1 + 10^{n-2}\gamma_2 +\cdots +10\gamma_{n-1} + \gamma_n + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{\gamma_k}{10^{k-n}} \right\rfloor\\
&=\frac{1}{100} \left( 10^n\beta + 10^{n-1}\gamma_1 + 10^{n-2}\gamma_2 +\cdots +10\gamma_{n-1} + \gamma_n\right)\\
&=\beta + \frac{\gamma_1}{10}+ \frac{\gamma_2}{100} +\cdots +\frac{\gamma_{n-1}}{10^{n-1}} + \frac{\gamma_n}{10^n}\\
&\vdots
\end{split}
\]
sicché la successione degli esponenti è quella di termine generale \(\beta + \sum_{k=1}^n \frac{\gamma_k}{10^k}\), la quale converge verso \(b\) per definizione.[/nota], quindi...
mmm non ti seguo ... non avendo fatto ancora le serie; mi concentro maggiormente sulla successione degli esponenti, e non capisco come converge a \( b \) ...
Saluti
... non avendo fatto ancora le serie; mi concentro maggiormente sulla successione degli esponenti, e non capisco come converge a \( b \) ...Saluti
Garnak, non c'è bisogno di aver studiato le serie: è il sistema di numerazione decimale che funziona così. 
@gugo82,
, hai perfettamente ragione... forse sono stato poco chiaro ad esporre la questione, come al solito purtroppo, per focalizzare il mio intento con questo post... rimedio al danno , in sostanza, e ti parlo da profano a livello matematico (anzi, vorrei tanto un OK su quello che dirò successivamente ), volevo definire la potenza di base reale \( a \in \Bbb{R}^{>0}\) ed esponente reale \( b \in \Bbb{R} \), ovviamente a livello fondazionale ma avendo affrontato le successione e presentando \( \Bbb{R} \) come un modello assiomatico, in questo modo [nota]premetto che l'idea mi è stata data da un matematico che frequenta questo forum ma nn ricordo il nome utente ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
[/nota]: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... _exponents e volevo usare la funzione che ho scritto ma senza entrare nel merito della successione posta ad esponente proprio per evitare di introdurre argomenti che ancora nn avessi affrontato... alla fine me ne sono uscito con questa famosa disuguaglianza $$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1, \forall x \in \Bbb{R} $$ all'inizio ottenevo un risultato che mi rimandava alla scrittura \( a^b \), ma ancora dovevo definirla come limite (quindi provare la convergenza di quella funzione) e via dicendo (insomma una sorta di nodo gordiano)... poi notai che da \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1, \forall x \in \Bbb{R} \) segue che $$\lfloor x \rfloor < \lfloor x \rfloor +1$$ che nel mio caso era $$ \lfloor b \cdot 10^n \rfloor < \lfloor b \cdot 10^n
\rfloor +1 $$ e per le proprietà di \( \Bbb{R} \) potevo scrivere anche $$ \frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor }{10^n} < \frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor +1}{10^n} $$ ed ambedue i membri così facendo sono elementi di \( \Bbb{Q} \) ed il primo è fortunato ad essere il mio esponente ergo:
se \( a>1 \) allora \(a^\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor }{10^n} < a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor +1}{10^n} } , \forall n \in \Bbb{N}\)
se \( 0 a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor +1}{10^n} }, \forall n \in \Bbb{N}\)
Thanks e saluti!
"gugo82":
Garnak, non c'è bisogno di aver studiato le serie: è il sistema di numerazione decimale che funziona così.
, hai perfettamente ragione... forse sono stato poco chiaro ad esporre la questione, come al solito purtroppo, per focalizzare il mio intento con questo post... rimedio al danno , in sostanza, e ti parlo da profano a livello matematico (anzi, vorrei tanto un OK su quello che dirò successivamente ), volevo definire la potenza di base reale \( a \in \Bbb{R}^{>0}\) ed esponente reale \( b \in \Bbb{R} \), ovviamente a livello fondazionale ma avendo affrontato le successione e presentando \( \Bbb{R} \) come un modello assiomatico, in questo modo [nota]premetto che l'idea mi è stata data da un matematico che frequenta questo forum ma nn ricordo il nome utente [/nota]: http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentia ... _exponents e volevo usare la funzione che ho scritto ma senza entrare nel merito della successione posta ad esponente proprio per evitare di introdurre argomenti che ancora nn avessi affrontato... alla fine me ne sono uscito con questa famosa disuguaglianza $$\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1, \forall x \in \Bbb{R} $$ all'inizio ottenevo un risultato che mi rimandava alla scrittura \( a^b \), ma ancora dovevo definirla come limite (quindi provare la convergenza di quella funzione) e via dicendo (insomma una sorta di nodo gordiano)... poi notai che da \(\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor +1, \forall x \in \Bbb{R} \) segue che $$\lfloor x \rfloor < \lfloor x \rfloor +1$$ che nel mio caso era $$ \lfloor b \cdot 10^n \rfloor < \lfloor b \cdot 10^n \rfloor +1 $$ e per le proprietà di \( \Bbb{R} \) potevo scrivere anche $$ \frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor }{10^n} < \frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor +1}{10^n} $$ ed ambedue i membri così facendo sono elementi di \( \Bbb{Q} \) ed il primo è fortunato ad essere il mio esponente ergo:
se \( a>1 \) allora \(a^\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor }{10^n} < a^{\frac{\lfloor b \cdot 10^n \rfloor +1}{10^n} } , \forall n \in \Bbb{N}\)
se \( 0
Thanks e saluti!
mmm nn so perchè qualcosa nn quadra... mmmmmm mi sfugge un tassello! 
nn so perchè qualcosa nn quadra... mmmmmm mi sfugge un tassello!
Dalla definizione di parte intera abbiamo:
\(\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor \leq10^{n}b<\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor +1\)
da cui
\(\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}\leq b<\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}+\frac{1}{10^{n}} \)
\(0\leq b-\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}\)
\(\lim\frac{\left\lfloor 10^{n}n\right\rfloor }{10^{n}}=b\)
La conclusione adesso è immediata.
\(\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor \leq10^{n}b<\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor +1\)
da cui
\(\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}\leq b<\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}+\frac{1}{10^{n}} \)
\(0\leq b-\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}\)
\(\lim\frac{\left\lfloor 10^{n}n\right\rfloor }{10^{n}}=b\)
La conclusione adesso è immediata.
@totissimus,
Ho capito come procedere nel ragionamento! Thanks, ringrazio anche gugo82
Saluti
"totissimus":
Dalla definizione di parte intera abbiamo:
\(\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor \leq10^{n}b<\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor +1\)
da cui
\(\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}\leq b<\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}+\frac{1}{10^{n}} \)
\(0\leq b-\frac{\left\lfloor 10^{n}b\right\rfloor }{10^{n}}<\frac{1}{10^{n}}\)
\(\lim\frac{\left\lfloor 10^{n}n\right\rfloor }{10^{n}}=b\)
La conclusione adesso è immediata.
Ho capito come procedere nel ragionamento! Thanks, ringrazio anche gugo82
Saluti
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