Limitatezza di una funzione
salve vorrei sapere:
come posso fare a mostrare che una funzione è limitata?
da un esempio ho capito che se il numeratore è sempre minore del denominatore la funzione è limitat superiormente se no è limitata inferiormente giusto o e sbagliato questo ragionamento??
grazie
come posso fare a mostrare che una funzione è limitata?
da un esempio ho capito che se il numeratore è sempre minore del denominatore la funzione è limitat superiormente se no è limitata inferiormente giusto o e sbagliato questo ragionamento??
grazie
Risposte
certo se il denominatore e´ sempre maggiore del numeratore (in valore assoluto), io direi che la funzione e´ limitata.. in particolare e´ sempre minore di 1..
Pero´ penso che la tua domanda sia piu´ generale.. (intanto non hai sempre funzioni fratte)
Penso che tu stia facendo degli esercizi di studio di funzione..
io direi che devi cercare prima di tutto l´insieme di definizione, e poi devi cercare i limiti agli estremi dell´insieme di definizione... se la funzione non tende mai all´infinito puoi dire che e´ limitata (puoi distinguere inferiormente superiormente)..
non so se ci ho azzeccato
Pero´ penso che la tua domanda sia piu´ generale.. (intanto non hai sempre funzioni fratte)
Penso che tu stia facendo degli esercizi di studio di funzione..
io direi che devi cercare prima di tutto l´insieme di definizione, e poi devi cercare i limiti agli estremi dell´insieme di definizione... se la funzione non tende mai all´infinito puoi dire che e´ limitata (puoi distinguere inferiormente superiormente)..
non so se ci ho azzeccato
In pratica:se puoi determinare un numero M tale che per ogni x la tua funzione è sempre minore o uguale a M allora la f è limitata superiormente; se invece puoi trovare un numero N tale che per ogni x la funzione risulta sempre maggiore o uguale a N allora la f è limitata inferiomente.
i numeri N e M li scelgo io cosi?? oppure c'è un criterio per trovarci i numeri n e m??
io farei così: una funzione si dice limitata se è limitato il suo codominio.
sappiamo che un insieme è limitato quando è possibile considerare un elemento più grande di tutti gli elementi dell'insieme ed uno più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme.
quindi una funzione è limitata se il suo codominio è del tipo [a;b] (o anche aperto) dove a e b sono diversi dall'infinito.
per esempio la funzione esponenziale $y=a^x$ con a>1 ha il codominio ]o;$+infty$[ e si dice limitata solo inferiormente.
per trovare gli estremi del codominio basta fare i limiti negli estremi del dominio della funzione.
se la funzione è crescente il risultato del limite nell'estremo sinistro del dominio=estremo sinistro del codominio; e il risultato del limite nell'estremo destro del dominio=estremo destro del codominio.
se la funzione è decrescente il tutto si inverte.
prendendo sempre come esempio la funzione esponenziale di prima con a>1, sappiamo che il dominio è R e che la funzione è strettamente crescente.
se calcoli il lim a - infinito avrai come risultato 0, a + infinito il risultato sarà +infinito.
e ]o;$+infty$[ è proprio il codominio della funzione.
per 0
sappiamo che un insieme è limitato quando è possibile considerare un elemento più grande di tutti gli elementi dell'insieme ed uno più piccolo di tutti gli elementi dell'insieme.
quindi una funzione è limitata se il suo codominio è del tipo [a;b] (o anche aperto) dove a e b sono diversi dall'infinito.
per esempio la funzione esponenziale $y=a^x$ con a>1 ha il codominio ]o;$+infty$[ e si dice limitata solo inferiormente.
per trovare gli estremi del codominio basta fare i limiti negli estremi del dominio della funzione.
se la funzione è crescente il risultato del limite nell'estremo sinistro del dominio=estremo sinistro del codominio; e il risultato del limite nell'estremo destro del dominio=estremo destro del codominio.
se la funzione è decrescente il tutto si inverte.
prendendo sempre come esempio la funzione esponenziale di prima con a>1, sappiamo che il dominio è R e che la funzione è strettamente crescente.
se calcoli il lim a - infinito avrai come risultato 0, a + infinito il risultato sarà +infinito.
e ]o;$+infty$[ è proprio il codominio della funzione.
per 0
si tutto chiaro almeno credo
Ovviamente non puoi sceglierli tu. In maniera generale si tenta di risolvere la disequazione f(x)N).
Giunti al punto finale, se la funzione è limitata, sei indotto a fare considerazioni che ti portano a capire quali possono essere gli eventuali M o N; non è sempre facilissimo, sia chiaro!!!
Oltre al metodo esposto, che si rifà direttamente alla definizione, a secondo del tipo di funzione, si possono fare varie considerazioni, ma non c'è un metodo univoco. Per es. se hai una funzione tipo sen(x) o cos(x), dalla geometria sai che il seno e il coseno oscillano tra -1 e 1, pertanto la funzione seno (coseno) è limitata sia superiormente (1) che inferiormente (-1)... ma questo è solo un esempio.
Ciao
Giunti al punto finale, se la funzione è limitata, sei indotto a fare considerazioni che ti portano a capire quali possono essere gli eventuali M o N; non è sempre facilissimo, sia chiaro!!!
Oltre al metodo esposto, che si rifà direttamente alla definizione, a secondo del tipo di funzione, si possono fare varie considerazioni, ma non c'è un metodo univoco. Per es. se hai una funzione tipo sen(x) o cos(x), dalla geometria sai che il seno e il coseno oscillano tra -1 e 1, pertanto la funzione seno (coseno) è limitata sia superiormente (1) che inferiormente (-1)... ma questo è solo un esempio.
Ciao
quindi devo trovare M N in base al grafico o alla mia intuizione ...??
cmq visto che nnc apisco granchè di amtematica se nn è cosi me lo puoi spiegare in maniera" terra terra" come si trovano M e N ??
cmq visto che nnc apisco granchè di amtematica se nn è cosi me lo puoi spiegare in maniera" terra terra" come si trovano M e N ??
io per trovare il codominio o guardo il grafico o calcolo i limiti agli estremi del dominio. se i limiti non hanno mai come risultato + o - infinito allora la funzione è limitata.
"sweet swallow":
io per trovare il codominio o guardo il grafico o calcolo i limiti agli estremi del dominio. se i limiti non hanno mai come risultato + o - infinito allora la funzione è limitata.
Se una funzione ha limite finito agli estremi del dominio non è detto che sia necessariamente limitata. Potrebbe avere asintoti verticali in qualche altra parte del dominio, per citare solo un es.
considera per es. 1/x se calcoli il limite a $+oo$ e a $-oo$ il risultato è 0, cioè limite finito, ma 1/x non è limitata, quando x-->0 1/x va all'infinito
si è vero.
quindi quello che ho scritto prima è valido solo se la funzione è continua nel dominio?
nel caso che hai postato tu, per esempio, se prendo una restrizione della funzione a ]0;$+infty$[ se calcolo i limiti negli estremi di questo intervallo, ho gli estremi del codominio e la funzione è limitata inferiormente. giusto?
quindi quello che ho scritto prima è valido solo se la funzione è continua nel dominio?
nel caso che hai postato tu, per esempio, se prendo una restrizione della funzione a ]0;$+infty$[ se calcolo i limiti negli estremi di questo intervallo, ho gli estremi del codominio e la funzione è limitata inferiormente. giusto?
ESatto!!!
ok maurymat 
tutto chiaro
grazie
tutto chiarograzie
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