Liminf e limsup

[anti-spells]

Salve a tutti, ho grandi problemi con questi esercizi, mi fanno andare fuori di testa, non capisco come approcciarmici:

Esempio: Calcolare $L^- = $liminf$_(n->infty){1/2(n - cos((\pin^2)/(1+n))}$ e
$L^+ = $limsup$_(n->infty){1/2(n - cos((\pin^2)/(1+n))}$

( ${}$ indica la parte frazionaria )

Come devo comportarmi? Ovviamente si avrà $0<=L^(-)<=L^(+)<1$ quindi a sentimento $L^+ = 1$ e $L^(-) = 0$ ma come cominciare? Grazie per l'aiuto ( ho qualche problema a inserire in tex liminf e limsup)

[Reyzet]

Vediamo, non so se sia giusto o si possa formalizzare meglio, anche perché non sono pratico di parti frazionarie e intere (le odio):
Mettiamo che $n=2k+1, k\in \mathbb{N}_{\geq1}$, dispari, e scriviamo allora $cos((\pi (2k+1)^2)/(2k+2)) =cos(2k\pi+\pi/(2k+2))=cos(\pi/(2k+2))$, dove ho usato il fatto che $cos(y+2m\pi)=cos(y)$. Adesso otteniamo che questa quantità è strettamente compresa tra 1 e 0 definitivamente e pertanto $\{k+(1/2)(1-cos(\pi/(2k+2)))}=(1/2)(1-cos(\pi/(2k+2)))$ (l'uguaglianza c'è perché è un intero più qualcosa di minore di 1 che sarà chiaramente la sua parte frazionaria, al più sapendo che ${x}=x-[x]$ ([ ] parte intera inferiore)) che chiaramente tende a zero, perciò il limite inferiore fa zero, per l'estratta dispari, per quella pari fai i conti uguali e viene $1/2$ il limsup.
Ripeto che non sono sicuro di questi passaggi però

[anti-spells]

"Reyzet":Vediamo, non so se sia giusto o si possa formalizzare meglio, anche perché non sono pratico di parti frazionarie e intere (le odio):
Mettiamo che $n=2k+1, k\in \mathbb{N}_{\geq1}$, dispari, e scriviamo allora $cos((\pi (2k+1)^2)/(2k+2)) =cos(2k\pi+\pi/(2k+2))=cos(\pi/(2k+2))$, dove ho usato il fatto che $cos(y+2m\pi)=cos(y)$. Adesso otteniamo che questa quantità è strettamente compresa tra 1 e 0 definitivamente e pertanto $\{k+(1/2)(1-cos(\pi/(2k+2)))}=(1/2)(1-cos(\pi/(2k+2)))$ (l'uguaglianza c'è perché è un intero più qualcosa di minore di 1 che sarà chiaramente la sua parte frazionaria, al più sapendo che ${x}=x-[x]$ ([ ] parte intera inferiore)) che chiaramente tende a zero, perciò il limite inferiore fa zero, per l'estratta dispari, per quella pari fai i conti uguali e viene $1/2$ il limsup.
Ripeto che non sono sicuro di questi passaggi però

Grazie, io avevo provato sostituendo a k , 2k ma mi ero bloccato, in generale faccio fatica a capire quando eliminare la parte frazionaria, quello che hai fatto l'ho capito comunque, adesso dici che sostituendo appunto $2k$ a $k$ mi ritrovo nella situazione del limsup oppure basta fare delle considerazioni su $1/2(1 - cos(\pi/(2k+2))$ ? Secondo me arrivati a questo basta dire che poichè $0 <= cos(pi/(2k+2)) <= 1$ , quando vale 0 si ricade nella situazione del limsup (appunto $1/2$) e quando vale 1 si ricade nel liminf (appunto 0).

E a me sembra giusto il ragionamento che hai fatto, è pari pari a quello che di solito fa il professore durante le lezioni, vediamo se qualcun altro conferma ,purtroppo quando vengono poste domande un po' fuori dai soliti limiti con Taylor, derivate, integrali, l'utenza si dilegua un po'

[Reyzet]

Non so se ho capito il tuo dubbio. Intendi sostituire al posto di $n$ $2k$? Per prendere i pari al posto dei dispari?
In questo caso conviene sostituirlo come prima nel coseno e vedere cosa esce, io ottengo $-cos(\pi/(2k+1))$
A questo punto sostituendo nella successione avremmo ${k+(1/2)(cos(\pi/(2k+1))}$ che come prima ci dà $(1/2)cos(\pi/(2k+1))$ che tende a $1/2$, il nostro limsup (possiamo dire che sono liminf e limsup perché le pari e dispari formano una partizione finita di $\mathbb{N}$) .
Osserva che comunque il ragionamento ha avuto senso perché quel coseno veniva compreso strettamente tra 0 e 1, se fosse stato 0 e 1 per diversi casi (infiniti), avremmo avuto un problema, invece così siamo sicuri perché è un intero più qualcosa di minore di 1 che è sicuramente la parte frazionaria.

[anti-spells]

"Reyzet":Non so se ho capito il tuo dubbio. Intendi sostituire al posto di $n$ $2k$? Per prendere i pari al posto dei dispari?
In questo caso conviene sostituirlo come prima nel coseno e vedere cosa esce, io ottengo $-cos(\pi/(2k+1))$
A questo punto sostituendo nella successione avremmo ${k+(1/2)(cos(\pi/(2k+1))}$ che come prima ci dà $(1/2)cos(\pi/(2k+1))$ che tende a $1/2$, il nostro limsup (possiamo dire che sono liminf e limsup perché le pari e dispari formano una partizione finita di $\mathbb{N}$) .
Osserva che comunque il ragionamento ha avuto senso perché quel coseno veniva compreso strettamente tra 0 e 1, se fosse stato 0 e 1 per diversi casi (infiniti), avremmo avuto un problema, invece così siamo sicuri perché è un intero più qualcosa di minore di 1 che è sicuramente la parte frazionaria.

Sisi ho capito, il mio dubbio era: sostituendo solo k con 2k+1 posso già concludere dicendo che limsup = 1/2 e liminf = 0 oppure devo guardare cosa succede anche per n pari? (appunto sostituendo k con 2k)