Liminf e limsup

[miriam161089]

buongiorno
qualcuno mi sa spiegare perché se $a_n <= b_n$ definitivamente (con $a_n$ e $b_n$ successioni) allora
liminf $a_n <=$ liminf $ b_n$ e
limsup $a_n <=$ limsup $b_n$

grazie mille

[Rigel1]

Prova a partire dalla caratterizzazione (o definizione):
\[
\liminf_{n\to +\infty} a_n = \lim_{n\to +\infty} \left( \inf_{k\geq n} a_k\right)
\]
(e analogamente per \(\limsup\)).

[miriam161089]

molto probabilmente il mio problema è sulla parola definitivamente che significa da un certo punto in poi giusto?

se è così come posso avere che sia il limsup che il liminf di $a_n$ sono più piccoli di quelli di $b_n$ ?

non riesco a capire come avendo solo la condizione che $a_n <= b_n$ definitivamente mi vengono assicurate entrambe le disuguaglianze

[Maci86]

Prendi la sottosuccessioni dei "limiti inferiori/superiori", se queste non fossero definitivamente minori allora non lo sarebbe nemmeno la successione