$lim_((x,y)->(0,0)) (|xy|^|xy|-1)/sqrt(x^2+y^2)$
I limiti di questa tipologia non li digerisco.. Premetto che questo limite a detta del prof fa zero e invece a detta del calcolatore online non esiste. Quindi insomma devo cercare di capire chi ha ragione.
$lim_((x,y)->(0,0)) (|xy|^|xy|-1)/sqrt(x^2+y^2)$
se uso le coordinate polari mi viene
$lim_((rho)->(0)) (|rho cos(phi)sin(phi)|^(|rho cos(phi)sin(phi)|)-1)/sqrt(rho^2)=lim_((rho)->(0)) (|rho cos(phi)sin(phi)|^(|rho cos(phi)sin(phi)|)-1)/rho$
A me verrebbe da dire che $cos(phi)sin(phi)|^(|rho cos(phi)sin(phi)$ è una cosa limitata che quindi moltiplicata per $rho^(|rho cos(phi)sin(phi)|$ che tende a 1 mi rimane limitata e al secondo pezzo mi rimane quel $-1/rho$ che mi manda a $-oo$ il limite... voi che mi suggerite?
$lim_((x,y)->(0,0)) (|xy|^|xy|-1)/sqrt(x^2+y^2)$
se uso le coordinate polari mi viene
$lim_((rho)->(0)) (|rho cos(phi)sin(phi)|^(|rho cos(phi)sin(phi)|)-1)/sqrt(rho^2)=lim_((rho)->(0)) (|rho cos(phi)sin(phi)|^(|rho cos(phi)sin(phi)|)-1)/rho$
A me verrebbe da dire che $cos(phi)sin(phi)|^(|rho cos(phi)sin(phi)$ è una cosa limitata che quindi moltiplicata per $rho^(|rho cos(phi)sin(phi)|$ che tende a 1 mi rimane limitata e al secondo pezzo mi rimane quel $-1/rho$ che mi manda a $-oo$ il limite... voi che mi suggerite?
Risposte
per me il limite da 0:
$ lim_(rho -> 0) (|rho^2costhetasintheta|^(|rho^2costhetasintheta|)-1)/rho=lim_(rho -> 0)1/rho-1/rho $
$ lim_(rho -> 0) (|rho^2costhetasintheta|^(|rho^2costhetasintheta|)-1)/rho=lim_(rho -> 0)1/rho-1/rho $
Ti ringrazio MasterCud per le tue risposte tempestive 
mi pare di capire che in generale
$lim_(t->0) t^t =1$
Questo più o meno era anche il succo di quell'altro esercizio
Perdona la mia ignoranza ma come ci si arriva a questo risultato? Non è una forma indeterminata $0^0$ ??
mi pare di capire che in generale
$lim_(t->0) t^t =1$
Questo più o meno era anche il succo di quell'altro esercizio
Perdona la mia ignoranza ma come ci si arriva a questo risultato? Non è una forma indeterminata $0^0$ ??
è una questione di ordini, poi stai tendendo a 0 non sei in $0^0$ se ti limiti a sostituire i valori a quel punto i limiti non hanno più alcun senso di esistere...cmq si il ragionamento che devi fare è analogo al caso che hai postato precedentemente
Perdona la mia ignoranza ma come ci si arriva a questo risultato? Non è una forma indeterminata $0^0$ ??[/quote]
$ 0^0 $ non è una forma indeterminata, fa 1! Anche io ci casco sempre!
$ 0^0 $ non è una forma indeterminata, fa 1! Anche io ci casco sempre!
Vi ringrazio
"gabriella127":
$ 0^0 $ non è una forma indeterminata, fa 1! Anche io ci casco sempre!
Hey hey!
Certo che lo è:\[\lim_{x\to 0^+}x^x=[0^0]=1\qquad \lim_{x\to 0^+}(e^{-1/x})^{\sqrt{x}}=[0^0]=0\]
[Ourang-outang]
La si può vedere così
\[ [0^0]=[e^{0\cdot \ln 0}]=[e^{0\cdot (-\infty)}]=[?!]\]
[\ourang-outang]
Sciolto il dubbio su quella forma indeterminata(ed essa stessa ),
faccio osservare che il ricorso alle coordinate polari può esser evitato notando come,indicati rispettivamente con $f,D_f=domf$ la funzione argomento del limite in questione e il piano privato degli assi cartesiani,
l'evidente relazione $(|x|-|y|)^2 ge 0$ $AA (x,y) in D_f sube RR^2$ importa abbastanza velocemente che
$0 le |f(x,y)| le (|(|xy|)^(|xy|)-1|)/(sqrt(2|xy|)$ $AA (x,y) in D_f$:
ed a provare,tramite il marchese ed i noti risultati sul confronto tra gli infiniti $t^p,"log"^q t$ con $p le 0 le q$,
come $EE lim_(t to 0^+)(t^t-1)/(sqrt(2t))$,
si fà tanto presto che a ricordare il teorema dei due carabinieri
..
Saluti dal web.
),faccio osservare che il ricorso alle coordinate polari può esser evitato notando come,indicati rispettivamente con $f,D_f=domf$ la funzione argomento del limite in questione e il piano privato degli assi cartesiani,
l'evidente relazione $(|x|-|y|)^2 ge 0$ $AA (x,y) in D_f sube RR^2$ importa abbastanza velocemente che
$0 le |f(x,y)| le (|(|xy|)^(|xy|)-1|)/(sqrt(2|xy|)$ $AA (x,y) in D_f$:
ed a provare,tramite il marchese ed i noti risultati sul confronto tra gli infiniti $t^p,"log"^q t$ con $p le 0 le q$,
come $EE lim_(t to 0^+)(t^t-1)/(sqrt(2t))$,
si fà tanto presto che a ricordare il teorema dei due carabinieri
..Saluti dal web.
"Plepp":[/quote]
[quote="gabriella127"]$ 0^0 $ non è una forma indeterminata, fa 1! Anche io ci casco sempre!
Hey hey!
Certo che lo è:\[\lim_{x\to 0^+}x^x=[0^0]=1\qqu
Sì certo, volevo solo dire che in quel caso il limite era 1.
Seguo il consiglio di Theras e ottengo:
$0 leq lim_((x,y)->(0,0)) (||xy|^|xy|-1|)/sqrt(x^2+y^2) leq lim_((x,y)->(0,0)) (||xy|^|xy|-1|)/sqrt(2|xy|)=0$
Per dimostrare che la precedente relazione è vera, impongo $t=|xy|$ e come suggerito da Theras applico de l'Hopital; Ottengo:
$ lim_(t->0^+) (t^t-1)/sqrt(2t)= lim_(t->0^+) t^t(logt+1)sqrt(2t)=lim_(t->0^+) t^t(logt+1)*lim_(t->0^+)sqrt(2t)=1*0=0 $
Giusto??
$0 leq lim_((x,y)->(0,0)) (||xy|^|xy|-1|)/sqrt(x^2+y^2) leq lim_((x,y)->(0,0)) (||xy|^|xy|-1|)/sqrt(2|xy|)=0$
Per dimostrare che la precedente relazione è vera, impongo $t=|xy|$ e come suggerito da Theras applico de l'Hopital; Ottengo:
$ lim_(t->0^+) (t^t-1)/sqrt(2t)= lim_(t->0^+) t^t(logt+1)sqrt(2t)=lim_(t->0^+) t^t(logt+1)*lim_(t->0^+)sqrt(2t)=1*0=0 $
Giusto??
Direi piuttosto,a farla informale,che $..=lim_(t to 0^+)t^t*lim_(t to 0^+)("log"t+1)sqrt(2t)=1*0=0$
(proseguendo come tu avevi fatto arrivi ad una forma indeterminata $[0*(-oo)]$,che non è chiaro come hai eliminato,
mentre a scriverla come ho appena fatto basta riccorrere a quel confronto tra infiniti cui accennavo nel post precedente..comunque sono dettagli e magari mi stà sfuggendo qualcosa che hai dato per sottointeso):
per il resto mi pare che tu abbia capito lo spirito di quel procedimento .
Saluti dal web.
(proseguendo come tu avevi fatto arrivi ad una forma indeterminata $[0*(-oo)]$,che non è chiaro come hai eliminato,
mentre a scriverla come ho appena fatto basta riccorrere a quel confronto tra infiniti cui accennavo nel post precedente..comunque sono dettagli e magari mi stà sfuggendo qualcosa che hai dato per sottointeso):
per il resto mi pare che tu abbia capito lo spirito di quel procedimento
.Saluti dal web.
Per capire avevo fatto delle prove... ad esempio avevo immaginato $t=0,00001$ ed ho visto che $log(0,00001)=-5$ mentre $sqrt(2*0,0001)=0.0044$ ed ho capito che $log(t)$ è più debole di $sqrt(2t)$
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