$\lim_{x \to +\infty}x^2 \left( \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \right)$

[pincopallino042]

Ciao a tutti!
Mi sono imbattuto in questo limite:
\[
\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \right)
\]
e chiedo conferma/opinioni su come l'ho risolta (nonché anche la correttezza di quanto scritto).

Prima ho fatto un cambio di variabile nel limite e poi ho sfruttato il polinomio di Taylor al terzo grado di $\sin t$:
\begin{align*}
\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \right) &= \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^2} \left( \sin t - t \right) = \lim_{t \to 0^+}\frac{1}{t^2} \left( t - \frac{t^3}{6} + o(t^3) - t\right) \\
&= \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^2} \left( -\frac{t^3}{6} + o(t^3) \right) = \underbrace{- \lim_{t \to 0^+} \frac{t}{6}}_{=0} + \underbrace{\lim_{t \to 0^+} \frac{o(t^3)}{t^2}}_{=0} = 0
\end{align*}

Attendo vostri commenti/correzioni.
Grazie

[Quinzio]

Va benissimo cosi'. Bravo.

[pincopallino042]

"Quinzio":Va benissimo cosi'. Bravo.

Già che ci sono, onde evitare di aprire un altro thread per una sciocchezza (tranquilli, poi la chiudo qui), posto il mio procedimento per calcolare
\[
\lim_{x \to 0^+} \frac{\cos^2 x - 1}{\sin (x^2)}.
\]
Sfruttando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, ottengo:
\[
\frac{\cos^2 x - 1}{\sin (x^2)} = \frac{1 - \sin^2 x - 1}{\sin (x^2)} = \frac{\sin^2 x}{\sin (x^2)}.
\]
Poi ho sfruttato $\sin(x) = x$ per $x \to 0$. Dunque:
\[
\frac{\sin^2 x}{\sin(x^2)} \sim \frac{x^2}{x^2} \to 1
\]
per $x \to 0$ (il risultato è dovuto alla semplificazione della frazione).

Va bene qui?

[Quinzio]

Hai dimenticato un segno meno, per il resto va bene.