$\lim_{x \to \infty}(1+1/x)^x=e$ dimostrazione completa

[Frances_a]

Buonasera, sapete dirmi dove posso trovare la dimostrazione completa di questo limite? Io ho solo la dimostrazione del limite della successione $a_n = 1 + 1/(1!) + 1/(2!) + 1/(3!) +...+1/(n!)$ ma non so se c'entri qualcosa col limite sopra..Su wikipedia non l'ho trovata..grazie a tutti!

[mottola.giovanni]

La dimostrazione del fatto che converge a un reale $2

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[Frances_a]

mi servirebbe la dimostrazione che il limite per x tendente a infinito di $(1+1/x)^x$ è $e$..scusate se non mi sono spiegata bene..

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"Frances_a":mi servirebbe la dimostrazione che il limite per x tendente a infinito di $(1+1/x)^x$ è $e$.

Ma quella non è la definizione di $e$?

[FireXl]

Si, è la definizione del numero di Nepero; a matematica I noi abbiamo dimostrato che il limite di quella funzione converge a un numero che è compreso tra 2 e 3...in realtà poi attraverso approssimazioni più accurate si trova proprio il valore del numero di nepero;
Se vuoi la dimostrazione, posso riportarti quella che ho fatto io, però mi sa che cmq dovrai aspettare a domani pomeriggio (Sempre che tu la voglia)
Aspetto un tuo cenno
Ciao!

[FireXl]

AH anche qui c'è qualcosa : http://domenicobottari.altervista.org/m ... nepero.htm

[Camillo]

Il valore del numero di Nepero non lo conosce nessuno
al più lo si può, non ricordo a quante cifre decimali siano arrivati .

[FireXl]

Certo Camillo, mi sono espresso certamente male: d'altra parte è impossibile conoscere tutte le cifre decimali dopo il 2, dato che tendono a infinito

[Camillo]

Sono infinite visto che si tratta di un numero irrazionale

[FireXl]

Io sinceramente quando parlo di infinito mi rivolgo sempre cn un "tende a", perchè anche se molti testi dicono che le cifre sono infinite, mi guardo bene dal parlare di cose di cui non so nulla (almeno io non so cosa sia l'infinito ).
Almeno così sono stato abituato...

[dissonance]

Evidentemente Francesca prende come definizione di $e$ questa:
$e=sum_{n=0}^\infty1/(n!)$.
Questo modo di procedere è quello che c'è anche sul Rudin (Principi di analisi matematica), paragrafo 3.8. Se serve la posso postare, comunque a grandi linee l'idea è questa:
poniamo $s_n=sum_{k=0}^\n1/(k!)$, $t_n=(1+1/n)^n$.
Usando il teorema del binomio, vediamo che $t_n$ è una somma di termini di questo tipo: $1 + 1 + 1/2(1-1/n)+...+1/(n!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(n-1)/n)$ ed è perciò più piccolo di $s_n$. Da cui $"limsup"_n t_n<=sum_{n=0}^\infty1/(n!)=e$. Però si riesce a dimostrare anche che $"liminf"_n t_n>=sum_{n=0}^\infty1/(n!)=e$, perché (sempre usando il teorema del binomio) possiamo (per $n>=m$) dire che:
$t_n>=1+1+1/2(1-1/n)+...+1/(m!)(1-1/n)...(1-(m-1)/n)$. A questo punto il più è fatto, visto che il termine a destra tende proprio a $s_m$ per $n\toinfty$.

P.S. 'appero, quante altre risposte sono arrivate, mentre scrivevo! Comunque i numeri irrazionali non hanno un numero di cifre che tende ad infinito, secondo me si può andare sul sicuro col dire che le cifre della rappresentazione sono infinite. No? Se assumiamo che "infinito" significa "non finito" (se ne parlava proprio di recente), allora un numero decimale che ha infinite cifre è semplicemente un numero che non è rappresentabile con finite cifre.

[Camillo]

"FireXl":Io sinceramente quando parlo di infinito mi rivolgo sempre cn un "tende a", perchè anche se molti testi dicono che le cifre sono infinite, mi guardo bene dal parlare di cose di cui non so nulla (almeno io non so cosa sia l'infinito ).
Almeno così sono stato abituato...

Userei : il numero di cifre è illimitato .

[FireXl]

Già

[Frances_a]

Prima di tutto, grazie a tutti! Dunque, io ho la dimostrazione che la successione $1/(n!)$ tende a un numero compreso tra 2 e tre..l'ho trovata sul Courant Robbins; ora provo a capire la spiegazione di dissonance grazie di nuovo!

[Frances_a]

Ok ho capito tutto!:D grazie dissonance, mi serviva proprio quella dimostrazione, e grazie a tutti gli altri!

[Frances_a]

Aspettate, un'ultima cosa; io dimostro che il limite sup di $t_n$ è minore o uguale a $e$, che il limite inf è maggiore o uguale a $e$, e da questo deriva che il limite è proprio $e$?

[dissonance]

Sì. Una successione di numeri reali converge a, diciamo, $l$ se e solo se $l$ è il suo massimo e minimo limite. Infatti, se una successione converge ha chiaramente un unico punto limite, da cui $"limsup"="liminf"$. Viceversa, se $"limsup"="liminf"$, comunque prendiamo $xl$ (eventualmente $l$ può anche essere infinito, nel qual caso una delle due proposizioni seguenti è vera a vuoto) risulta che la successione è definitivamente $>x$ e $
[size=75]Questo fatto si può dimostrare in vari modi. Un altro è questo: se $l'="liminf"a_n, l''="limsup"a_n$ e sono finiti, allora $forall epsilon$ è definitivamente vero che $a_nl'-epsilon$, da cui, se $l'=l''$... eccetera. Questione di gusti insomma.
[/size]

Infine, per ogni successione $a_n$, risulta che $"liminf"a_n<="limsup"a_n$. E questo è ovvio. Quindi, per la nostra $t_n$, abbiamo che $e<="liminf"t_n<="limsup"t_n<=e$.

[Frances_a]

Perfetto, grazie mille!

[gugo82]

"Camillo":[quote="FireXl"]Io sinceramente quando parlo di infinito mi rivolgo sempre cn un "tende a", perchè anche se molti testi dicono che le cifre sono infinite, mi guardo bene dal parlare di cose di cui non so nulla (almeno io non so cosa sia l'infinito ).
Almeno così sono stato abituato...

Userei : il numero di cifre è illimitato .[/quote]
Numero illimitato non l'ho mai sentita... E comunque anche un numero periodico ha un numero di cifre decimali non finito (anzi, tutti i numeri razionali sono rappresentabili come numeri periodici e perciò nessun numero ha allineamento decimale finito; e.g. $1=0,\bar9$).

Piuttosto direi che $e$ non è periodico oppure che non ha un allineamento decimale periodico ovvero che non ha periodo finito.
Ad ogni modo, l'espressione più corretta resta sempre $e$ è un numero irrazionale (ed anche trascendente).

[Camillo]

Ho inventato un nuovo termine ?
Però non va bene .
Meglio dire che $e $ è un numero irrazionale come giustamente dice il neo-dottore.

[antani2]

numero decimale illimitato non periodico va bene?:-D
Ps quanti sorrisi in questa conversazione...Ah ah