$lim_{x \to \0}(\int_{0}^{sqrtx} sen (t^2) dt)/(xsqrtx)$
Devo risolvere questo limite:
$lim_{x \to \0}(\int_{0}^{sqrtx} sen (t^2) dt)/(xsqrtx)$
Ho ragionato così : sostituendo ad x 0 al numeratore ho :
$lim_{x \to \0}(\int_{0}^{sqrt0=0} sen (t^2) dt)/(xsqrtx)$ che è una forma indeterminata $0/0$ percio' applicherei l'Hopital
con la derivata del numeratore fratto quella del denominatore ed ottengo:
$lim_[x\to \0] (sen x .1/(2sqrt x))/(sqrt x + x 1/(2sqrtx)) $ semplifico ed ottengo con dei semplici calcoli $1/3 $
che vi sembra?
Grazie
$lim_{x \to \0}(\int_{0}^{sqrtx} sen (t^2) dt)/(xsqrtx)$
Ho ragionato così : sostituendo ad x 0 al numeratore ho :
$lim_{x \to \0}(\int_{0}^{sqrt0=0} sen (t^2) dt)/(xsqrtx)$ che è una forma indeterminata $0/0$ percio' applicherei l'Hopital
con la derivata del numeratore fratto quella del denominatore ed ottengo:
$lim_[x\to \0] (sen x .1/(2sqrt x))/(sqrt x + x 1/(2sqrtx)) $ semplifico ed ottengo con dei semplici calcoli $1/3 $
che vi sembra?
Grazie
Risposte
Ciao!
Direi che potresti combatterci all'infinito,con quell'integrale:
non mi pare sia risolvibile con metodi "elementari"..
Piuttosto osserva come il tuo limite si presenti nella forma indeterminata $[0/0]$
(che il denominatore sia infinitesimo è immediato mentre,per intuirlo e dimostrarlo formalmente del numeratore,
spero ti basti sbatterci un poco la testa..ma se proprio non riesci fà un fischio
):
ci si rivolge spesso ad un teorema classico,in questi casi,che tra l'altro coinvolge quella derivata la quale,
proprio grazie a Torricelli,farebbe scomparire l'integrale
(previo opportuno "trattamento" di quell'estremo d'integrazione superiore..)!
Saluti dal web.
Direi che potresti combatterci all'infinito,con quell'integrale:
non mi pare sia risolvibile con metodi "elementari"..
Piuttosto osserva come il tuo limite si presenti nella forma indeterminata $[0/0]$
(che il denominatore sia infinitesimo è immediato mentre,per intuirlo e dimostrarlo formalmente del numeratore,
spero ti basti sbatterci un poco la testa..ma se proprio non riesci fà un fischio
):ci si rivolge spesso ad un teorema classico,in questi casi,che tra l'altro coinvolge quella derivata la quale,
proprio grazie a Torricelli,farebbe scomparire l'integrale
(previo opportuno "trattamento" di quell'estremo d'integrazione superiore..)!
Saluti dal web.
Avevo pensato proprio a questo infatti ho fatto una modifica nel mio post. Guarda per favore se ti "gusta" Grazie
La tua modifica non m'è comparsa quando ho fatto l'anteprima prima di premere il pulsante "Invia"
(???..e dire che,al contrario della mia che invece risulta,è stata sostanziale!),
e dunque non sono certo andato a guardare se avevi cambiato il testo del post;
comunque nella sostanza,ad occhio e senza carta penna e calamaio,dovremmo esserci
(magari,se ti và,facci vedere come sei arrivato,nella forma,a far spuntare quel numeratore,
e se vuoi esagerare spiegaci pure perchè $EElim_(x to =^+)N(x)=0$ che magari può esser utile ad altri utenti..):
poi se vorrai,la prox volta,osserva semplicemente che $Dxsqrt(x)=Dx^(3/2)=3/2x^(1/2)$..
Saluti dal web.
(???..e dire che,al contrario della mia che invece risulta,è stata sostanziale!),
e dunque non sono certo andato a guardare se avevi cambiato il testo del post;
comunque nella sostanza,ad occhio e senza carta penna e calamaio,dovremmo esserci
(magari,se ti và,facci vedere come sei arrivato,nella forma,a far spuntare quel numeratore,
e se vuoi esagerare spiegaci pure perchè $EElim_(x to =^+)N(x)=0$ che magari può esser utile ad altri utenti..):
poi se vorrai,la prox volta,osserva semplicemente che $Dxsqrt(x)=Dx^(3/2)=3/2x^(1/2)$..
Saluti dal web.
Ciao a entrambi. Se posso dire la mia, prima di usare De L'Hopital farei una sostituzione di variabile nel limite che rende i calcoli successivi molto più snelli:
$z=sqrt x$, col che il limite diventa: [tex]\lim_{z\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{z}\sin t^2\textrm{d}t}{z^3}[/tex]__[tex]\overset{Hop.}{\rightarrow}[/tex]__[tex]\lim_{z\rightarrow 0^+}\frac{\sin z^2}{3z^2}=...[/tex].
$z=sqrt x$, col che il limite diventa: [tex]\lim_{z\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{z}\sin t^2\textrm{d}t}{z^3}[/tex]__[tex]\overset{Hop.}{\rightarrow}[/tex]__[tex]\lim_{z\rightarrow 0^+}\frac{\sin z^2}{3z^2}=...[/tex].
Certo $ xsqrtx$ si puo' vedere come $x^(3/2) $ per cui la sua derivata sarà :
$3/2 x^(3/2-1) $ 0vvero $ 3/2 x^(1/2)$ ovvero $ 3/2 sqrt x$.
Per quanto riguarda il Numeratore dell'Integrale applicando Torricelli - Barrow e piu' in generale le proproetà dell' Integrale definito si puo' dire che sostituendo $0$ al numeratore al posto della $sqrtx$ nell'estremo superiore dell'Integrale definito abbiamo che l'Integrale definito è compreso tra $ 0 e 0$. Ma trattandosi di aree (Integrale definito) allora noi sappiamo che l'area di una funzione ovvero l'area del Trapezoide compreso tra un valore della funzione e il suo stesso valore vale $0$ e quindi ho che il Numeratore del limite è proprio $0$.
Il Denominatore anch'esso va a zero per $x->0$ pertanto essendo la funzione seno continua in tutto $ R$ e derivabile nell'intervallo $ [0, infty] $ come del resto il Denominatore frutto del prodotto tra una retta e la Radice quadrata anch'essa continua e derivabile in $ [ 0, infty]$ ci permettono senza riserve l'applicazione del Teorema dell'Hopital .
Deriviamo pertanto sia il Numeratore che il Denominatore ottenendo i risultati di cui al mio primo post e cosi via......
Pensate possa andar bene come spiegazione?
$3/2 x^(3/2-1) $ 0vvero $ 3/2 x^(1/2)$ ovvero $ 3/2 sqrt x$.
Per quanto riguarda il Numeratore dell'Integrale applicando Torricelli - Barrow e piu' in generale le proproetà dell' Integrale definito si puo' dire che sostituendo $0$ al numeratore al posto della $sqrtx$ nell'estremo superiore dell'Integrale definito abbiamo che l'Integrale definito è compreso tra $ 0 e 0$. Ma trattandosi di aree (Integrale definito) allora noi sappiamo che l'area di una funzione ovvero l'area del Trapezoide compreso tra un valore della funzione e il suo stesso valore vale $0$ e quindi ho che il Numeratore del limite è proprio $0$.
Il Denominatore anch'esso va a zero per $x->0$ pertanto essendo la funzione seno continua in tutto $ R$ e derivabile nell'intervallo $ [0, infty] $ come del resto il Denominatore frutto del prodotto tra una retta e la Radice quadrata anch'essa continua e derivabile in $ [ 0, infty]$ ci permettono senza riserve l'applicazione del Teorema dell'Hopital .
Deriviamo pertanto sia il Numeratore che il Denominatore ottenendo i risultati di cui al mio primo post e cosi via......
Pensate possa andar bene come spiegazione?
Si Pallit grazie avevo pensato senz'altro di operare una sostituzione per rendere piu' facile alla vista l'espressione al Numeratore senza vederci la radice , ma poi avevo lasciato perdere andando al $dunque$ dell'esercizio di cui m'interessava arrivare alla fine. Comunque grazie infinite.
Roby
Roby
@Palliit
Ecco il formalismo che avevo in mente io,con la speranza che fosse lo stesso di A.
(non che sia un dramma il contrario,anche se lo è abbastanza il fatto che evinco dalla frequenza della similitudine dei ns approcci che dovremmo essere entrambi "Vecchia Scuola".. )!
@Antonelli
Oh,non è che ti sei offeso?
No,perchè nel caso guarda che quel piccolo "appunto" è fatto sopratutto pensando ad utenti più alle "prime armi" di te:
quella che tu puoi vedere come una "svista" capitata mentre avevi in mente un problema più importante,
per altri magari è un problema d'impostazione troppo "meccanica" e dunque da migliorare..
Io avrei detto che in un opportuno intorno destro $I_d$ di $0$ si ha $0<=sent^2<=1$ $AAx inI_d,t in [0,sqrt(x)]rArr$
$rArrint_(0)^(sqrt(x))0dt<=int_(0)^(sqrt(x))sent^2dt<=int_(0)^(sqrt(x))1dt$
(per la proprietà di monotonia degli integrali definiti)$rArr$
$rArr0<=int_(0)^(sqrt(x))sent^2dt<=sqrt(x)$ $AAx inI_drArrcdots$,
ma è solo questione di quante bacchettate sulle dita si son prese(o tentato d'evitare..)dai "maestri":
ed a certi formalismi,non sò se esagerando oppure a ragione(o forse entrambe le cose..),i miei ci tenevano.
Ci siamo;
volendo potevi renderla più inappuntabile dicendo che è proprio Torricelli e la continuità di $sint^2$ ad assicurare la derivabilità del numeratore,
e dunque l'applicabilità del Marchese "senza riserve"(posso rubartela in seguito,vero? 
):
ma sarebbe stato davvero esagerare
!
Saluti dal web.
"Palliit":
Ciao a entrambi. Se posso dire la mia, prima di usare De L'Hopital farei una sostituzione di variabile nel limite che rende i calcoli successivi molto più snelli:
$z=sqrt x$, col che il limite diventa: [tex]\lim_{z\rightarrow 0^+}\frac{\int_{0}^{z}\sin t^2\textrm{d}t}{z^3}[/tex]__[tex]\overset{Hop.}{\rightarrow}[/tex]__[tex]\lim_{z\rightarrow 0^+}\frac{\sin z^2}{3z^2}=...[/tex].
Ecco il formalismo che avevo in mente io,con la speranza che fosse lo stesso di A.
(non che sia un dramma il contrario,anche se lo è abbastanza il fatto che evinco dalla frequenza della similitudine dei ns approcci che dovremmo essere entrambi "Vecchia Scuola"..
)! @Antonelli
"ANTONELLI ":
Certo $ xsqrtx$ si puo' vedere come $x^(3/2) $ per cui la sua derivata sarà :
$3/2 x^(3/2-1) $ 0vvero $ 3/2 x^(1/2)$ ovvero $ 3/2 sqrt x$.
Oh,non è che ti sei offeso?
No,perchè nel caso guarda che quel piccolo "appunto" è fatto sopratutto pensando ad utenti più alle "prime armi" di te:
quella che tu puoi vedere come una "svista" capitata mentre avevi in mente un problema più importante,
per altri magari è un problema d'impostazione troppo "meccanica" e dunque da migliorare..
"ANTONELLI ":
Per quanto riguarda il Numeratore dell'Integrale applicando Torricelli - Barrow e piu' in generale le proproetà dell' Integrale definito si puo' dire che sostituendo $0$ al numeratore al posto della $sqrtx$ nell'estremo superiore dell'Integrale definito abbiamo che l'Integrale definito è compreso tra $ 0 e 0$. Ma trattandosi di aree (Integrale definito) allora noi sappiamo che l'area di una funzione ovvero l'area del Trapezoide compreso tra un valore della funzione e il suo stesso valore vale $0$ e quindi ho che il Numeratore del limite è proprio $0$.?
Io avrei detto che in un opportuno intorno destro $I_d$ di $0$ si ha $0<=sent^2<=1$ $AAx inI_d,t in [0,sqrt(x)]rArr$
$rArrint_(0)^(sqrt(x))0dt<=int_(0)^(sqrt(x))sent^2dt<=int_(0)^(sqrt(x))1dt$
(per la proprietà di monotonia degli integrali definiti)$rArr$
$rArr0<=int_(0)^(sqrt(x))sent^2dt<=sqrt(x)$ $AAx inI_drArrcdots$,
ma è solo questione di quante bacchettate sulle dita si son prese(o tentato d'evitare..)dai "maestri":
ed a certi formalismi,non sò se esagerando oppure a ragione(o forse entrambe le cose..),i miei ci tenevano.
"ANTONELLI ":
Il Denominatore anch'esso va a zero per $x->0$ pertanto essendo la funzione seno continua in tutto $ R$ e derivabile nell'intervallo $ [0, infty] $ come del resto il Denominatore frutto del prodotto tra una retta e la Radice quadrata anch'essa continua e derivabile in $ [ 0, infty]$ ci permettono senza riserve l'applicazione del Teorema dell'Hopital .
Deriviamo pertanto sia il Numeratore che il Denominatore ottenendo i risultati di cui al mio primo post e cosi via......
Pensate possa andar bene come spiegazione?
Ci siamo;
volendo potevi renderla più inappuntabile dicendo che è proprio Torricelli e la continuità di $sint^2$ ad assicurare la derivabilità del numeratore,
e dunque l'applicabilità del Marchese "senza riserve"(posso rubartela in seguito,vero?
):ma sarebbe stato davvero esagerare
!Saluti dal web.
"theras":
(non che sia un dramma il contrario,anche se lo è abbastanza il fatto che evinco dalla frequenza della similitudine dei ns approcci che dovremmo essere entrambi "Vecchia Scuola"..
Devo darti tristemente ragione...
Grazie sia a Pallit che a Theras.
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