$\lim_{x \to \0}cos x^(1/x)$ Taylor

[lucame89]

Utilizzando la formula di Taylor calcolare il seguente limite:

$\lim_{x \to \0}cos x^(1/x)$

Ho provato a calcolarlo con lo sviluppo di McLaurin solo che già la derivata prima esce una cosa assurda

sapete indirizzarmi??oppure devo per forza calcolarmi derivata seconda ecc..ecc.??

[K.Lomax]

Forse ti conviene sviluppare solo $cosx$ e poi sfruttare un limite notevole (comunque si può risolvere facilmente, direttamente con i limiti notevoli).

[lucame89]

si però la traccia mi dice di farlo con taylor
ho fatto lo sviluppo di $cos x$ e mi trovo:

$(1-x^2/2)^(1/x)$

ora però non riesco a capire quale limite notevole devo utilizzare, mi sapresti dare un aiutino??XD

[ciampax]

Credo tu debba scrivere il limite così:

$\lim_{x\rightarrow 0}e^{1/x\cdot\ln(\cos x)}$

e a questo punto sviluppare con Taylor.

[K.Lomax]

Hai diverse possibilità:
1)Puoi fare come ti è stato consigliato da ciampax, e lo risolvi con taylor o con i limiti notevoli, infatti:

$lim_(x->0)e^(1/xln(cosx))=lim_(x->0)e^(1/xln(1+(cosx-1)/x^2*x^2))=lim_(x->0)e^(1/xln(1-x^2/2)/(-x^2/2)*(-x^2/2))=lim_(x->0)e^(-x/2)=1$

Prova a rifarlo con Taylor.

2) Oppure partendo dalla relazione che hai scritto, sfrutta il seguente limite notevole

$lim_(x->0)(1+\alphax)^(1/x)=e^\alpha$