$lim_(x->+oo) x-ln(x^2-1)$
Salve a tutti potete aiutarmi a risolvere questo limite: $lim_(x->+oo) x-ln(x^2-1)$
Probabilmente è semplicissimo ma adesso ho un lapsus. Ho provato a scrivere come reciproci e qualunque cosa ma non sono riuscito. Mi va bene anche solo che mi indirizziate sulla giusta strada. Grazie in anticipo:)
Probabilmente è semplicissimo ma adesso ho un lapsus. Ho provato a scrivere come reciproci e qualunque cosa ma non sono riuscito. Mi va bene anche solo che mi indirizziate sulla giusta strada. Grazie in anticipo:)
Risposte
Direi che log(x^2) può essere scritto come 2logx per la proprietà dell'esponente, il -1 è trascurabile per x->infinito.
il limite vale $+\infty$ ed il motivo è che, semplicemente, ln(x^2 -1) è o(x), ovvero x "va ad infinito più velocemente di ln(x^2 -1)" e quindi il ln è come se non ci fosse.
Per rendertene conto meglio puoi usare un trucchetto: scrivi $x=ln(e^x)$ e poi, per le proprietà dei logaritmi, hai $ lim_(x->+oo) x-ln(x^2-1) $ = $ lim_(x->+oo) ln(e^x /(x^2-1)) $.
Siccome $e^x /(x^2-1) -> +\infty$ per $x->\+infty$, allora quel limite va a $\+infty$
Per rendertene conto meglio puoi usare un trucchetto: scrivi $x=ln(e^x)$ e poi, per le proprietà dei logaritmi, hai $ lim_(x->+oo) x-ln(x^2-1) $ = $ lim_(x->+oo) ln(e^x /(x^2-1)) $.
Siccome $e^x /(x^2-1) -> +\infty$ per $x->\+infty$, allora quel limite va a $\+infty$
quindi non ci sono trucchi algebrici da applicare ma solo ragionando per la gerarchia degli infiniti giusto? Perche io non me ne intendo tanto di queste considerazioni del tipo 'va ad infinito piu velocemente di...' o meglio non so quando usarle. Quindi avrei preferito che ci fossero stati trucchi algebrici:)
eheh purtroppo è così, e fai bene a diffidarne perchè le considerazioni fatte sulla gerarchia degli infiniti, specialmente se hai in ballo delle somme, sono molto infide.
Come regola empirica ti consiglio di cercare di trasformare algebricamente la funzione in un'unica frazione (se occorre ovviamente), un po' come ho fatto io dentro quel ln, così il confronto viene di solito più facile.
Per ricordarti la gerarchia degli infiniti pensa ai grafici: il grafico di f(x) = x è la bisettrice e se la disegni insieme al grafico di ln(x) vedi che da un certo punto in poi la retta sta sopra al log, il che significa che va a $+\infty$ più velocemente. A sua volta, il grafico di $e^x$ sta sopra alla retta
ed ovviamente lo stesso vale al contrario per $-\infty$
Se hai delle somme e $x -> 0$, di solito gli sviluppi di Taylor sono utili: al link sotto trovi gli sviluppi già bell' e pronti delle funzioni elementari
http://www.dii.unisi.it/~papini/dispense/tavole.pdf
Come regola empirica ti consiglio di cercare di trasformare algebricamente la funzione in un'unica frazione (se occorre ovviamente), un po' come ho fatto io dentro quel ln, così il confronto viene di solito più facile.
Per ricordarti la gerarchia degli infiniti pensa ai grafici: il grafico di f(x) = x è la bisettrice e se la disegni insieme al grafico di ln(x) vedi che da un certo punto in poi la retta sta sopra al log, il che significa che va a $+\infty$ più velocemente. A sua volta, il grafico di $e^x$ sta sopra alla retta
ed ovviamente lo stesso vale al contrario per $-\infty$Se hai delle somme e $x -> 0$, di solito gli sviluppi di Taylor sono utili: al link sotto trovi gli sviluppi già bell' e pronti delle funzioni elementari
http://www.dii.unisi.it/~papini/dispense/tavole.pdf
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