$lim_(x->o)( x^x-1)/(8x)$

[alice881]

$lim_(x->o)( x^x-1)/(8x)$... a senso vedo che fa meno infinito, quanlcuno mi può indicare come risolverlo rigorosamente? grazie

[ViciousGoblin]

$\frac{x^x-1}{8x}=\frac{e^{x\log(x)}-1}{8x}=\frac{x\log(x)+o(x\log(x))}{8x}=\frac{x\log(x)(1+o(1))}{8x}=\frac{\log(x)(1+o(1))}{8}\to-\infty$

oppure applichi Hospital

$\lim_{x\to0^+}\frac{e^{x\log(x)}-1}{8x}=\lim_{x\to0^+}\frac{e^{x\log(x)}(\log(x)+1)}{8}=-\infty$

(ricordando che $x\log(x)\to0$)

[Sk_Anonymous]

Non era più semplice:
$lim_(x->0)\ (x^x-1)/(8x)$ da cui
$lim_(x->0)\ 1/8\ (x^x-1)/x\ =$
$1/8\ lim_(x->0)\ (x^x/x\ -\ 1/x)/1\ =$
$1/8\ lim_(x->0)\ (x^{(x-1)}\ -\ 1/x)/1\ =\ 1/8\ *\ (-\ oo)$ ?

[Sk_Anonymous]

"IvanTerr":Non era più semplice...cut...

Non cedo, il numeratore viene una forma indeterminata $+oo-oo$

[Sk_Anonymous]

Una mia svista, lo ammetto. Il termine: $x^{(x-1)}$ per x che tende a zero tende proprio a $+oo$. Infatti si ha:
$lim_(x->0)\ (x-1)*log(x)\ =\ - 1\ *\ -oo\ =\ +oo$, pertanto si hanno contemporaneamente, al numeratore, i due valori che hai indicato.