$lim_(x->infty)(x^(1/2)) * [(x+1)^(1/2)-(x-1)^(1/2)]$

[billytalentitalianfan]

$lim_(x->infty)(x^(1/2)) * [(x+1)^(1/2)-(x-1)^(1/2)]$ =?
Ho provato a razionalizzare e a sostituire in vari modi, ma niente!
Avrei provato anche a porre $1/X=cosy$ , $cosy->0$ per $x->infty$ ricavando un risultato...errato!
E' lecita una sostituzione del genere?

[K.Lomax]

Prova a pensare come sfruttare questo limite notevole:

[tex]\lim_{x\to0}\dfrac{(1+x)^a-1}{x}=a[/tex]

[billytalentitalianfan]

Quando ho $(x+1)^(1/2)$ riesco a combinare qualcosa.. ma quando ho $(x-1)^(1/2)$ non riesco in alcun modo a ricondurlo a quel limite notevole.
Una curiosità, come mai non è consentita una sostituzione del tipo $1/x=cosy$?

[K.Lomax]

Io non dico che sia consentito ma guarda come diventa semplice:

[tex]\sqrt{x}\left[\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right]=\sqrt{x(x-1)}\left[\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}-1\right]=\sqrt{x(x-1)}\left[\sqrt{\frac{x+1}{x-1}-1+1}-1\right]=[/tex]
[tex]=\sqrt{x(x-1)}\left[\sqrt{\frac{2}{x-1}+1}-1\right][/tex][tex]=\sqrt{x(x-1)}\left[\frac{\sqrt{\frac{2}{x-1}+1}-1}{\frac{2}{x-1}}\right]\frac{2}{x-1}[/tex]

Ora? Comunque capisco che se non sai dove vuoi andare a parare non è immediato