$lim_(x->+\infty)sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x))$

[Edex1]

Salve ragazzi,
ho svolto l'esercizio del titolo però non capisco una cosa:

So che una funzione periodica non costante non ammette limite per $x->+\infty$ e quindi non esiste $lim_(x->+\infty) sin(sqrt(x+1)-sin(sqrt(x))$ però mi trovo davanti a un dubbio.
Sfruttando le formule di prostaferesi so che:
$sin(sqrt(x+1))-sin(sqrt(x)) = 2*sin((sqrt(x+1)-sqrt(x))/2)*cos((sqrt(x+1)+sqrt(x))/2)$
Ora però se faccio il limite dell'espressione di destra per $x->+\infty$ ho che il coseno non ammette limite, ma:
$lim_(x->+\infty) sin((sqrt(x+1)-sqrt(x))/2) = lim_(x->+\infty) sin(1/(2*(sqrt(x+1)+sqrt(x)))) = 0$ e quindi il tutto tende a zero.

Dove ho modificato il limite iniziale?

Grazie delle risposte

[Mino_01]

In effetti è che :

la somma di una funzione convergente e di una finzione non regolare è una funzione non regolare.
Ma la somma di funzioni non regolari può essere regolare.

Ciao
Mino

[Edex1]

Scusami Mino, non ti ho capito.
In questo caso io ho due funzioni non regolari che vengono sommate e il loro limite non esiste (giusto?).
La mia domanda è, se due funzioni sono uguali (come lo sono le due che ho scritto) non dovrebbero avere anche lo stesso limite? Perchè in questo caso non è così?

Grazie

[Mino_01]

Se ha una funzione convergente e una non regolare allora certamente la loro somma è non regolare
(sai dire il perché?)

Per contro non è detto che somma di funzioni non regolari sia non regolare.

Giusto?

[Edex1]

"Mino_01":Se ha una funzione convergente e una non regolare allora certamente la loro somma è non regolare
(sai dire il perché?)

Sia $f -> L$ e $g$ periodica non costante, si ha che $f+g$ non ammette limite per $x -> +\infty$.
Se per assurdo ammettesse limite $m$ allora $\forall$ $\varepsilon > 0$ $EE M > 0$ $t.c$ $|(f+g) - m| < \varepsilon$ $\forall$ $x>M$.
Poichè $f$ è convergente per $x -> +\infty$ allora per ogni $k$ fissato esisterà un intervallo tale per cui $f > -|L| - k$.
$|(f+g) - m| = |f + (g-m)| > f + (g-m) > -|L| - k - m + g$ (nell'ultima disuguaglianza consideriamo k fissato e quindi di essere nell'intervallo per cui vale la maggiorazione.)
Quindi se dimostriamo che quest'ultimo termine non può essere minore di ogni $\varepsilon > 0$ abbiamo finito perchè questo termine è minore dell'iniziale.
$-|L| - k - m + g < \varepsilon rarr g < \varepsilon + |L| + k + m$
Scegliamo $x_1 in dom(g)$ e fissiamo $\varepsilon = g(x_1) -|L| - k -m$ allora dovrà essere $ g < g(x_1)$ $\forall x > M$. Ipotizziamo sia $M = x_m$ poichè $g$ è periodica per ogni $x$ fissato esiste $x_2 > x$ $t.c.$ $g(x_2) = g(x_1)$. Allora preso $x_2 > x_m$ tale che $g(x_2) = g(x_1)$ si avrebbe che $g(x_2) < g(x_1)$ che è ovviamente un assurdo. Di conseguenza la funzione non ammette limite.
Giusto?

Sono anche d'accordo che la somma di funzioni che non ammettono limite può ammettere limite, ma non capisco perchè le due funzioni che ho scritto, che sono uguali (assumono gli stessi valori per ogni x del dominio), si comportano in modo diverso: la prima non ammette limite mentre la seconda sì. Ho variato qualcosa io nel riscrivere la prima con le formule di prostaferesi? Oppure in determinati casi questo può accadere?

Grazie delle risposte

Edit: se il limite fosse per assurdo $+\infty$ o $-\infty$ si potrebbe attuare un ragionamento molto simile e ottenere comunque un assurdo

[Mino_01]

Buon di Edex e buon 2014

con $x>=0$ la scrittura:

$sin sqrt(x+1)-sinsqrt(x)=2sin ((sqrt(x+1)-sqrt(x))/2)*cos((sqrt(x+1)+sqrt(x))/2)$

è una identità.

Sono forme (espressioni elementari) diverse della stessa funzione.
I singoli addendi del primo membro sono funzioni non regolari in + infinito ma la loro somma (presi insieme) è una funzione regolare.

In una somma se soltanto uno dei due addendi fosse stato regolare e l' altro non regolare potevi trarre conclusioni sulla somma.

Poi scusami per il "sai dimostrare?" non dubito della tua preparazione, non pensavo di essere preso sul serio.

Ma più facilmente:
se $a_n,b_n,c_n$ sono successioni tali che $a_n=b_n+c_n$, con $b_n$ regolare, $c_n$ non regolare.
Per assurdo se $a_n$ fosse regolare allora lo dovrebbe essere anche $c_n=a_n-b_n$ (teorema della regolarità della somma).

Ho risposto alle tue domande?
Mino

[Edex1]

Buongiorno Mino e buon anno!
Per carità non ti preoccupare, non pensavo mettessi in dubbio la mia preparazione e mi dispiace se la mia risposta è apparsa brusca! Mi sono divertito a trovare quella dimostrazione (che spero essere giusta ) quindi tranquillo
Per il resto, sì hai risposto alle mie domande perchè quello che mi dici coincide con quello che pensavo: la forma a sinistra ammette limite ed è 0 per $x -> +\infty$. A trarmi in inganno è stato wolphram alpha (che uso per controllare i risultati dei limiti) e che mi diceva che quel limite non esisteva.