$lim_{x->+\infty} (x^4sin^2(\pi-2arctgx))/(x^2+3)$
Salve ragazzi, probabilmente è domanda banale.. ma mi sono trovato davanti a questo limite :
$lim_{x->+\infty} (x^4sin^2(\pi-2arctgx))/(x^2+3)$
Al numeratore ho un infinito di ordine $2$ così pure al denominatore.. indi per cui mi tocca calcolarlo!
Se lo riscrivo nella forma
$lim_{x->+\infty} (sin^2(\pi-2arctgx))/((x^2+3)/(x^4))$ (1)
Mi trovo ad una forma indeterminata di tipo $[0/0]$
Se pongo $f(x)=sin^2(\pi-2arctgx)$ , $g(x)=(x^2+3)/(x^4)$
Noto che $g(x) >0 AA x \in RR$ e che quindi se $V$ è un intorno di $+\infty$ , $g(X)!=0$ e lo stesso vale per $g'(x)$ .. dunque sono soddisfatte le ipotesi del teorema di De Hopital..
Ho che $f'(x)=(-2/(1+x^2))*cos(\pi-2arctg(x))*2sin(\pi-2arctgx) =$
$= (-2/(1+x^2))* sin(-4arctg(x))=(2/(1+x^2))* sin(4arctg(x))$
mentre $g'(x)=(-2x^2+3)/x^5$
Applicando Hopital , (1) è equivalente a
$lim_{x->+\infty}((f'(x))/(g'(x)))$ che risulta essere ancora una forma indeterminata di tipo $0/0$.. inoltre sembra che la situazione, a livello di conti sia peggiorata rispetto a prima.. ho la sensazione che mi stia inguaiando la vita.
Non sono riuscito a trovare altre strade.. piccoli hint? Grazie mille
$lim_{x->+\infty} (x^4sin^2(\pi-2arctgx))/(x^2+3)$
Al numeratore ho un infinito di ordine $2$ così pure al denominatore.. indi per cui mi tocca calcolarlo!
Se lo riscrivo nella forma
$lim_{x->+\infty} (sin^2(\pi-2arctgx))/((x^2+3)/(x^4))$ (1)
Mi trovo ad una forma indeterminata di tipo $[0/0]$
Se pongo $f(x)=sin^2(\pi-2arctgx)$ , $g(x)=(x^2+3)/(x^4)$
Noto che $g(x) >0 AA x \in RR$ e che quindi se $V$ è un intorno di $+\infty$ , $g(X)!=0$ e lo stesso vale per $g'(x)$ .. dunque sono soddisfatte le ipotesi del teorema di De Hopital..
Ho che $f'(x)=(-2/(1+x^2))*cos(\pi-2arctg(x))*2sin(\pi-2arctgx) =$
$= (-2/(1+x^2))* sin(-4arctg(x))=(2/(1+x^2))* sin(4arctg(x))$
mentre $g'(x)=(-2x^2+3)/x^5$
Applicando Hopital , (1) è equivalente a
$lim_{x->+\infty}((f'(x))/(g'(x)))$ che risulta essere ancora una forma indeterminata di tipo $0/0$.. inoltre sembra che la situazione, a livello di conti sia peggiorata rispetto a prima.. ho la sensazione che mi stia inguaiando la vita.
Non sono riuscito a trovare altre strade.. piccoli hint? Grazie mille
Risposte
io avrei osservato da subito che
\[\pi-2\arctan x=2\arctan\frac{1}{x}\]
e quindi non avrei scomodato De L'Hopital ...
\[\pi-2\arctan x=2\arctan\frac{1}{x}\]
e quindi non avrei scomodato De L'Hopital ...
In quel caso diventa tutto molto semplice..
Il limite di partenza equivale a (1)$lim_{x->+\infty} (x^4sin^2(2arctg(1/x)))/(x^2+3)=lim_{x->+\infty}x^2sin^2(2arctg(1/x))$ ponendo $y=1/x$ si ha che (1)=$lim_{y->0}(sin^2(2arctg(y)))/y^2=4$
giusto?
Il limite di partenza equivale a (1)$lim_{x->+\infty} (x^4sin^2(2arctg(1/x)))/(x^2+3)=lim_{x->+\infty}x^2sin^2(2arctg(1/x))$ ponendo $y=1/x$ si ha che (1)=$lim_{y->0}(sin^2(2arctg(y)))/y^2=4$
giusto?
Altra cosa , dimostrerei l'identità che mi hai fornito.
Da un primo esame, noterei che per $x>0$ vale che $g(x)=arctg(x)+arctg(1/x)=\pi/2$ mentre per $x<0$ $g(x)=-\pi/2$.
Considero $g : ]0,+\infty[-> RR$ tale che $g(x)=arctg(x)+arctg(1/x)$, si nota facilmente per $AA x \in ]0,+\infty[ , f'(x)=0$ , ciò implica $EE c \in RR t.c : g(x)=c$ (1). Poiché $lim_{0^+} g(x)=lim_{x->+\infty} = \pi/2$ (2) , da (1) e (2) si evince che $c=\pi/2$.
Analogamente si mostra per $x<0$.
It's right? Grazie mille Noise.
Da un primo esame, noterei che per $x>0$ vale che $g(x)=arctg(x)+arctg(1/x)=\pi/2$ mentre per $x<0$ $g(x)=-\pi/2$.
Considero $g : ]0,+\infty[-> RR$ tale che $g(x)=arctg(x)+arctg(1/x)$, si nota facilmente per $AA x \in ]0,+\infty[ , f'(x)=0$ , ciò implica $EE c \in RR t.c : g(x)=c$ (1). Poiché $lim_{0^+} g(x)=lim_{x->+\infty} = \pi/2$ (2) , da (1) e (2) si evince che $c=\pi/2$.
Analogamente si mostra per $x<0$.
It's right? Grazie mille Noise.
"Kashaman":
...$AA x \in ]0,+\infty[ , g'(x)=0$ ....
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