$lim_(x->0)(logx)^x$
$lim_(x->0)(log(x^x))=0$, mi chiedevo qual' è il valore del limite, $lim_(x->0)(logx)^x$?
Io lo dedurrei dal fatto che $lim_(x->0)(1/x^x)=1$, pertanto anche $lim_(x->0)(logx)^x=1$;
Saluti!
Io lo dedurrei dal fatto che $lim_(x->0)(1/x^x)=1$, pertanto anche $lim_(x->0)(logx)^x=1$;
Saluti!
Risposte
Hai provato a determinare il dominio della funzione $(logx)^x$ ?
Un'espressione esponenziale del tipo $[f(x)]^(g(x))$ è definita per valori positivi della base.
Un'espressione esponenziale del tipo $[f(x)]^(g(x))$ è definita per valori positivi della base.
Daccordo, ma questo come mi aiuta nella soluzione del limite?
Se avessi avuto $lim_(x->0)(log(x+1))^x$, nell'intorno di $x=0$ posso sostituire ad $log(x+1)$ la forma asintoticamente equivalente, $x$, quindi avrei $lim_(x->0)(log(x+1))^x=lim_(x->0)x^x=1$, ed avrei concluso, ma nel caso di $logx$ la funzione in $0$ non è definita, pertanto come posso procedere per la ricerca del limite?
Saluti!
Se avessi avuto $lim_(x->0)(log(x+1))^x$, nell'intorno di $x=0$ posso sostituire ad $log(x+1)$ la forma asintoticamente equivalente, $x$, quindi avrei $lim_(x->0)(log(x+1))^x=lim_(x->0)x^x=1$, ed avrei concluso, ma nel caso di $logx$ la funzione in $0$ non è definita, pertanto come posso procedere per la ricerca del limite?
Saluti!
La funzione $(logx)^x$ è definita per $x>=1$, quindi il suo limite per $x to 0$ è privo di senso.
Scusa , ma come priva di senso, la funzione logaritmo se non ricordo male è definita per quei valori di $x$ appartenenti all'intervallo $]0,infty[$, e si ha $lim_(x->0)logx=-infty$, nel caso del limite in questione $lim_(x->0)(logx)^x$ si ha una forma indeterminata $(-infty)^0$, quindi il limite esiste, solo che non riesco a capire come eliminarla, infatti calcolando il limite con wolfram ho come valore del limite $1$.
La tua funzione non è un logaritmo e basta, è un'esponenziale che ha per base un logaritmo. Prova a chiedere alla calcolatrice quanto vale $(log(1/2))^(1/2)$, ad esempio.
P.S.: stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale ?
P.S.: stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale ?
x@Pallit.
Hai ragione! Se la funzione è $(logx)^x$ , essendo che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale, giustamente come tu hai sostenuto il limite non esiste, probabilmente wolfram considera la funzione nel campo complesso, e per la parte reale mi da $1$ come risultato del limite;
Se però consideriamo la funzione $(|logx|)^x$, tale funzione ha valori solamente in $R$, è discontinua per $x=1$, precisamente ha un punto angoloso, ed sarà $lim_(x->0)(|logx|)^x=1$, anche in questo caso mi troverò di fronte ad una forma indeterminata $+infty^0$, la funzione $logx$ non è sviluppabile in serie, a questo punto per il calcolo del limite come posso procedere?
Hai ragione! Se la funzione è $(logx)^x$ , essendo che stiamo parlando di funzioni reali di variabile reale, giustamente come tu hai sostenuto il limite non esiste, probabilmente wolfram considera la funzione nel campo complesso, e per la parte reale mi da $1$ come risultato del limite;
Se però consideriamo la funzione $(|logx|)^x$, tale funzione ha valori solamente in $R$, è discontinua per $x=1$, precisamente ha un punto angoloso, ed sarà $lim_(x->0)(|logx|)^x=1$, anche in questo caso mi troverò di fronte ad una forma indeterminata $+infty^0$, la funzione $logx$ non è sviluppabile in serie, a questo punto per il calcolo del limite come posso procedere?
Supponendo (cosa legittima visto che il limite è per $x to 0^+$) che sia $0
[size=140]
$(|logx|)^x=(-log x)^x =e^(log(-logx)^x)=e^(x*log(-logx))$[/size] ;
a questo punto riscrivi l'esponente come: $(log(-logx))/x^(-1)$ e applicando un paio di volte il teorema di De L'Hopital calcoli il limite di quest'ultimo.
[size=140]
$(|logx|)^x=(-log x)^x =e^(log(-logx)^x)=e^(x*log(-logx))$[/size] ;
a questo punto riscrivi l'esponente come: $(log(-logx))/x^(-1)$ e applicando un paio di volte il teorema di De L'Hopital calcoli il limite di quest'ultimo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo