$lim_(x->0^+)(e^x logx)/(log(1+x)+e^(1/x))$

[LeXuS4oK]

Ciao a tutti ,
Ecco il mio limite, qualcuno sa dirmi se è una risoluzione lecita?
Grazie anticipatamente per le risposte.

$lim_(x->0^+)(e^x logx)/(log(1+x)+e^(1/x))$

poichè per $x->0^+$
$e^(1/x) ->1$
$log(1+x) -> 0$
allora $log(1+x)+e^(1/x) ->1$
$(e^x logx)/(log(1+x)+e^(1/x)) \sim (e^x logx) \sim (x+1)(x-1)=x^(2)-1 \sim x^2 -> 0$

[V3rgil]

per $x->0^+$ non è $e^(1/x)->+infty$??

[LeXuS4oK]

$e^0 = 1$ no?

[Sk_Anonymous]

"LeXuS4oK":$e^0 = 1$ no?

certo, ma $e^(1/0^+)=e^(+oo)=+oo$

[LeXuS4oK]

Vero, scusatemi l'errore, buon sabato mattina

[Luca.Lussardi]

La funzione $(e^x \log x)/(\log(1+x)+e^(1/x))$ è asintotica a $\log x/(e^(1/x))$ per $x \to 0^+$.

[LeXuS4oK]

Grazie luca,
una cosa soltanto...

Per quanto riguarda il numeratore, il motivo dell'asintoticità è per la gerarchia degli infiniti giusto (prendo il più "lento")?

Ma per il denominatore non mi ritrovo xkè è una somma... potresti chiarirmi i passaggi che ti hanno portato al risultato?

Grazie anticipatamente per la risposta.

[Luca.Lussardi]

Il numeratore è asintotico a $\log x$ perchè $e^x \to 1$. Il denominatore è asintotico a $e^{1/x}$ perchè $(\log(1+x)+e^{1/x})/e^{1/x} \to 1$.

[LeXuS4oK]

Grazie