$lim_(x->0)(2e^(x^2)-cosx-1)/(sinh^2x)$
Come da titolo, si tratta del seguente limite:
$lim_(x->0)(2e^(x^2)-cosx-1)/(sinh^2x)$
Sfrutto un po' di equivalenze:
$2e^(x^2)=2 " per " x->0$ quindi
$lim_(x->0)(2-cosx-1)/(sinh^2x)=lim_(x->0)(1-cosx)/(sinh^2x)$
Da qui sembra semplice proseguire: $1-cosx=1/2x^2+o(x^2) " per " x->0$ e ancora $sinh^2x=x^2+o(x^2) " per " x->0$: quindi
$lim_(x->0)(1-cosx)/(sinh^2x)=lim_(x->0)(1/2x^2)/(x^2)=1/2$.
Che ne dite? Mi spiegate dov'è l'errore, per piacere? Il risultato infatti è $5/2$, ma non so da dove tirare fuori quel $5$...
Secondo me (parlo per puro intuito) l'errore è quando sostituisco $2e^(x^2)$ con $2$, all'inizio: è solo una sensazione, nulla di più, ma non mi piace molto quel passaggio.
Vi ringrazio per l'aiuto.
$lim_(x->0)(2e^(x^2)-cosx-1)/(sinh^2x)$
Sfrutto un po' di equivalenze:
$2e^(x^2)=2 " per " x->0$ quindi
$lim_(x->0)(2-cosx-1)/(sinh^2x)=lim_(x->0)(1-cosx)/(sinh^2x)$
Da qui sembra semplice proseguire: $1-cosx=1/2x^2+o(x^2) " per " x->0$ e ancora $sinh^2x=x^2+o(x^2) " per " x->0$: quindi
$lim_(x->0)(1-cosx)/(sinh^2x)=lim_(x->0)(1/2x^2)/(x^2)=1/2$.
Che ne dite? Mi spiegate dov'è l'errore, per piacere? Il risultato infatti è $5/2$, ma non so da dove tirare fuori quel $5$...
Secondo me (parlo per puro intuito) l'errore è quando sostituisco $2e^(x^2)$ con $2$, all'inizio: è solo una sensazione, nulla di più, ma non mi piace molto quel passaggio.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Idea all'ultimo momento: aggiungo e tolgo $1$ a numeratore, resta:
$lim_(x->0) (2e^(x^2)-1-1+1-cosx)/(x^2)$ (sfruttando l'equivalenza locale del seno iperbolico). Distribuisco la somma sul quoziente e trovo due limiti notevoli: il primo (sull'esponenziale) vale $2$, il secondo (trigonometrico classico sul coseno) proprio $1/2$, e la loro somma dà $5/2$.
Bene, forse l'esercizio è risolto, ma mi interessa comunque capire dove è l'errore sopra: spero di trovare conferme. Vi ringrazio e mi scuso se ho detto scemenze.
$lim_(x->0) (2e^(x^2)-1-1+1-cosx)/(x^2)$ (sfruttando l'equivalenza locale del seno iperbolico). Distribuisco la somma sul quoziente e trovo due limiti notevoli: il primo (sull'esponenziale) vale $2$, il secondo (trigonometrico classico sul coseno) proprio $1/2$, e la loro somma dà $5/2$.
Bene, forse l'esercizio è risolto, ma mi interessa comunque capire dove è l'errore sopra: spero di trovare conferme. Vi ringrazio e mi scuso se ho detto scemenze.
Mi pare che il primo passaggio in cui metti $2$ al posto di $2e^{x^2}$ non funzioni... se passi al limite devi passarci dappertutto...
Il problema sta nel fatto che l'espansione polinomiale di $2*e^(x^2)$ per $x->0$ comprende anche altri termini.
Cioè:
$2*e^(x^2)=2+2*x^2+o(x^2)$
Con questo il risultato torna.
Cioè:
$2*e^(x^2)=2+2*x^2+o(x^2)$
Con questo il risultato torna.
"Luca.Lussardi":
Mi pare che il primo passaggio in cui metti $2$ al posto di $2e^{x^2}$ non funzioni... se passi al limite devi passarci dappertutto...
Ok, ok. Proprio come pensavo, l'inghippo era lì. Errore stupido.
Grazie mille per la conferma, Luca.
Ciao e grazie ancora.
Ah, grazie anche a clrscr per l'osservazione molto utile (non avevo visto, scusa).
Grazie.
Grazie.
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