$lim _(x->0 )(x*log|x|)/(1+x)$

[GDLAN1983]

Dice che il risultato sia $0$ :

anzitutto dovremmo vedere se è $0^-$ o $ 0^+$.
Nel caso di $0^-$ abbiamo :

$lim _(x->0^- )(x*log|x|)/(1+x)$ $=$

$lim _(x->0^- )(x*log(-x))/(1)$ , $=$

$lim _(x->0^- )log(-x)/(1/x)$

Hopital :

$lim _(x->0^- )(1/(-x)(-1))/((-1)/(x^2))$

similmente per $0^+$ che dovrebbe fare $ = 0^-$

$ = lim_(x->0^-) -x $ $=0^+ $

va bene?

[leena1]

"ANTONELLI ":$lim _(x->0^- )(x*log|x|)/(1+x)$ $=$

$lim _(x->0^- )(x*log(-x))/(1)$ , $=$

Io direi di non fare questo passaggio, ma questo:
$lim _(x->0^- )(x*log|x|)/(1+x) = lim _(x->0^- )(x*log(-x))/(1+x)=lim _(x->0^- )(log(-x))/((1+x)/x)$
e a questo punto applichi De L'Hospital.
Il risultato viene identico

[piero_1]

io avrei scritto $log|x| = 1/2 logx^2$, giusto per evitare di portare a spasso il modulo. Per il resto concordo.

[GDLAN1983]

Grazie a tutti

[gugo82]

"ANTONELLI ":$lim _(x->0^- )(x*log|x|)/(1+x) =$

$lim _(x->0^- )(x*log(-x))/(1) =$

$lim _(x->0^- )log(-x)/(1/x)$

Hopital :

$lim _(x->0^- )(1/(-x)(-1))/((-1)/(x^2))$

similmente per $0^+$ che dovrebbe fare $ = 0^-$

$ = lim_(x->0^-) -x =0^+ $

va bene?

Occhio che non va bene eliminare così brutalmente i fattori "buoni" sotto il segno di limite.

Insomma non puoi sostituire $1$ a $1+x$: è un errore grave.

Lo stesso discorso vale per lo svolgimento descritto qui.

[GDLAN1983]

Perfettamente ragione chiedo venia .

$lim _(x->0-) (x*log|x|)/(1+x) =$

$lim _(x->0-) (x*log(-x))/(1+x) =$

$lim _(x->0-) (x*(log(-x)))/(x*(1/x+1)) =$ semplificando :

$lim _(x->0-) (log(-x))/((1/x+1)) =$ ora il limite è della forma $ infty/infty $

e pertanto possiamo applicare l'Hopital : ed allora

$lim _(x->0-) ((-1)*(1/(-x)))/((-1/x^2)) =$

$lim _(x->0-) (1/(x))/(-1/x^2) =$

$lim _(x->0-) 1/(x)*-(x^2) =$

$lim _(x->0-) -(x)


Ora dovrebbe andare bene

Grazie Gugo82
$ = 0 $

[antani2]

ma non si poteva applicare il fatto che cmq$ lim_(x->0) xlnx= 0$ e quindi quello del denominatore viene 1 e poichè il den è diverso da 0il limite del rapporto è uguale al rapporto dei limiti quindi viene =0?Così non si evitavano i conti?

[GDLAN1983]

Non mi sembra che :

$lim_(x->0) x*logx "$ faccia $0$

in quanto il prodotto $0*infty$ è un'altro tipo di forma indeterminata .

Roby

[antani2]

Invece sì. E' un ben noto limite notevole.

[gugo82]

"antani":Invece sì. E' un ben noto limite notevole.

Si può provare facendo la sostituzione $y=ln x$.