$lim_ (x->0) (1-cos x)^x $

[Sk_Anonymous]

Io pensavo di risolvere cosi' :

Scompongo la potenza e moltiplico e divido per $ x$ :

$= lim _(x->0) (x (1-cosx) (1-cosx)^(x-1))/x = $

poi sfrutto un prodotto notevole ed ho:

$ = lim _(x->=0) (x*0(1-cosx)^(x-1))) =$

$ = lim _(x->0) 0*0*0^(-1) $

e qui mi fermo perche' sarei portato a dire che il risultato finale è 0 , ma non nè sono affatto sicuro od altrimenti potrei ottenere una forma $0/0$ semplicemente scrivendo il limite in questo modo:

$= lim _(x->0) ((1-cosx)^(x+1))/((1-cosx)) = $ e forse ora con l'Hopital potrei andare avanti sperando di sbloccare la situazione.

Altro non mi viene.

Gdlan

[xdom="gugo82"]Chiudo.

A quanto pare GDLAN era ANTONELLI (utente sospeso per una settimana, dal 21/6 al 28/6) che si era creato un secondo account in modo da sottrarsi alla sanzione.
Ovviamente l'account GDLAN è stato sospeso (in attesa di cancellazione) e l'utente ANTONELLI ha preso una seconda sospensione, questa volta per due settimane.

I furbi, prima o poi, vengono scoperti.[/xdom]

[Aliseo1]

Questo è un caso di indeterminazione del tipo $ 0^(0) $. Dalla teoria sai che $ [f(x)]^(g(x))=e^(g(x)*ln(f(x))) $. Quindi il nostro limite diventa

$ \lim_{x \to 0}(1-cos(x))^(x)=\lim_{x \to 0}e^(x*ln(1-cos(x))) $. Consideriamo, ora, il limite della funzione $ e^(x*ln(1-cos(x))) $, che per $ x \to 0 $ è ancora una forma indeterminata $ 0 * -\infty $. Quindi riscriviamo il limite nella seguente maniera

$ \lim_{x \to 0}ln(1-cos(x))/(1/x)$ adoperando ora il limite notevole e l'Hopital hai

$ \lim_{x \to 0}ln((x^2)/2)/(1/x)=\lim_{x \to 0}(2/x^2*x)/(-1/x^2)=\lim_{x \to 0}(-2/x*x^2)=0 $. Allora, hai che

$ \lim_{x \to 0}(1-cos(x))^(x)=\lim_{x \to 0}e^(x*ln(1-cos(x)))=\lim_{x \to 0}e^0=1 $

ok?

[Sk_Anonymous]

Ok Aliseo grazie infinite. Sapevo fare la trasformazione (e' teoria) ma non riuscivo a capire che potevo metter via la $e$ e quindi ragionare solo sul logaritmo che moltiplica $ x$ . Di conseguenza poi bastava , come tu hai fatto, scrivere al denominatore $ x$ come $ 1/x$ ed il gioco era fatto. Hopital e via.

Grazie ancora infinitamente.

Gdlan.

[gugo82]

[mod="Gugo82"]@Aliseo: ti ricordo questo non è un forum per camerieri, quindi servire "pappe pronte" agli utenti è contro lo spirito del forum.[/mod]

[Aliseo1]

Prego

[Aliseo1]

pardon ... grazie @Gugo82 x avermelo ricordato, ma sai in quel momento il desiderio di voler aiutare mi ha fatto scordare lo spirito del forum ( e so ke in questo mi capisci bene ) ... me ne ricorderò in futuro ... grazie x la dritta

[Sk_Anonymous]

Io non ho fatto dopo la vostra dritta esattamente cosi' : anche se il finale è identico. Ho solo applicato l'Hopital direttamente , non sono riuscito a fare il passaggio:

$lim_(x->0) (ln (1-cosx))/(1/x) $ $ = $

$lim_(x->0) (ln (x^2/2))/(1/x) $ anche perchè non lo capisco bene o forse il motivo è questo : ( $ lim _(x->0) (1-(cos^2(x) ))/(x^2) = 1$ , infatti da questo limite mi sembra che si possa arrivare a concludere spezzando la differenza di quadrati di $1-cos^2(x) $ come $ (1-cos x) (1+ cos x) $ e con una serie di passaggi da numeratore a denominatore)

Io veramente a ciò non ero arrivato. Applicando in modo tradizionale l'Hopital ad un certo punto avevo ottenuto:

$ e ^(lim_(x->0) (-x*(2senx +x cosx))/(sen x) =$

limite notevole rovesciato con il segno $-$ $=>$

$ e ^(lim_(x->0) (-(2senx +x cosx)) $ $= e ^0$ $ = 1$

Grazie . Potete dirmi se il mio ragionamento è giusto e se il passaggio del limite notevole di Aliseo l'ho interpretato bene?

Grazie.

Gdlan

[Aliseo1]

Allora

se ben ti ricordi, il limite notevole è $ \lim_{x \to 0}(1-cos(x))/x^2=1/2 $, questo significa che se hai solo $ \lim_{x \to 0}(1-cos(x)) $ basta che dividi e moltiplichi per $x^2$ per ricondurti al limite notevole di prima ok?

Non mi ritrovo, tuttavia, con il tuo passaggio, quando cioè dici che applichi diretamente l'Hopital, arrivando dopo un certo punto all'espressione che poi hai scritto. Su quale espressione hai applicato l'Hopital? Potresti scrivere i passaggi che hai fatto? Così vediamo un po' ...

[Sk_Anonymous]

Allora vado.

$e^(lim_(x->0) (ln(1-cosx))/(1/x) = $ Hopital forma $infty/infty$

$e^(lim_(x->0) (1/(1-cosx)*senx )/(-1/x^(x2)) = $

$ = e^(lim_(x->0) ((senx)(-x^(2))/(1-cosx)) = $ ancora Hopital

$ = e^(lim_(x->0) ((-2xsenx - x^(2) cosx )/(senx) = $

$ = e^(lim_(x->0) ((-x(2senx+xcosx))/(senx) = $

$ = e^(lim_(x->0) -1*(2senx + x*cosx) = $

$ e ^0 = 1 $

[Aliseo1]

fai attenzione #GDLAN, che se vuoi applicare l'Hopital il limite diventa

$ \lim_{x \to 0} ln(1-cos(x))/(1/x)=\lim_{x \to 0} (sin(x)/(1-cos(x)))/(-1/x^2)=-\lim_{x \to 0} (x^2*sin(x))/(1-cos(x)) $ che è ancora una forma indeterminata $ 0/0 $ Applichiamo ancora l'Hopital, quindi

$ -\lim_{x \to 0} (x^2*sin(x))/(1-cos(x))=-\lim_{x \to 0} (cos(x)*x^2 + 2x*sin(x))/sinx=-\lim_{x \to 0}(x^2/tan(x) + 2x) = -\lim_{x \to 0} (x/tan(x)*x+2x)=0$ ok?

[Sk_Anonymous]

ok benissimo pero' condividi con me i passaggi e soprattutto :

$lim_(x->0) -x/(senx) =- 1$ ?

Perchè questo mi permette di far tornare il limite senza bisogno del limite notevole che hai applicato relativamente alla tangente .

Gdlan

Grazie Aliseo.

[leena1]

"GDLAN":$lim_(x->0) -x/(senx) =- 1$ ?

sisi