$ lim_(x -> +oo) ((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2*x)) $
Salve a tutti,
non riesco a calcolare questo limite nella forma indeterminata:
$ lim_(x -> +oo) ((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2*x)) $
Io ho provato in vari modi, ma non riesco a risolverlo avevo provato così:
pongo $lim_(x -> +oo) (((x+4)/(x+4))-(7/(x+4)))^((x^2-1)/(2*x))$
ponendo poi $-(7/(x+4))=1/y$ :
$lim_(x -> +oo) (1+(1/y))^(((7y+4)^2-1)/(-2*(7y+4)))$
oppure l'altro metodo che avevo usato era:
$lim_(x ->+oo) e^((((ln(x-3))/2x)-((ln(x+4))/2x))*(x^2-1))$
ma poi non so come continuare
La soluzione + $e^(-7/2)$
non riesco a calcolare questo limite nella forma indeterminata:
$ lim_(x -> +oo) ((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2*x)) $
Io ho provato in vari modi, ma non riesco a risolverlo avevo provato così:
pongo $lim_(x -> +oo) (((x+4)/(x+4))-(7/(x+4)))^((x^2-1)/(2*x))$
ponendo poi $-(7/(x+4))=1/y$ :
$lim_(x -> +oo) (1+(1/y))^(((7y+4)^2-1)/(-2*(7y+4)))$
oppure l'altro metodo che avevo usato era:
$lim_(x ->+oo) e^((((ln(x-3))/2x)-((ln(x+4))/2x))*(x^2-1))$
ma poi non so come continuare
La soluzione + $e^(-7/2)$
Risposte
Mi pare sia una buona idea iniziare con l'ultima che hai avuto, cioè scrivere come
$((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2*x)) =e^((x^2-1)/(2*x)*ln((x-3)/(x+4)))$ e quindi studiare il limite di
$(x^2-1)/(2*x)*ln((x-3)/(x+4))$. Ora riscrivi l'argomento del logaritmo $(x-3)/(x+4)$ come avevi fatto nel tuo primo tentativo di risoluzione e hai quasi fatto
credo
$((x-3)/(x+4))^((x^2-1)/(2*x)) =e^((x^2-1)/(2*x)*ln((x-3)/(x+4)))$ e quindi studiare il limite di
$(x^2-1)/(2*x)*ln((x-3)/(x+4))$. Ora riscrivi l'argomento del logaritmo $(x-3)/(x+4)$ come avevi fatto nel tuo primo tentativo di risoluzione e hai quasi fatto
credo
Ripartiamo da $((x+4)/(x+4)-7/(x+4))^((x^2-1)/(2*x)) = (1-7/(x+4))^((x^2-1)/(2*x))$
Ora ricordando il limite notevole $lim_(x->+oo)(1+a/x)^(x/a)=e^a$ (forma generale, se $a=1$ ottieni quello noto)
per applicarlo all'esponente dovresti avere $-(x+4)/7$, giusto!? Beh basta allora moltiplicare e dividere per $-(x+4)/7$ all'esponente e isolare la forma notevole:
$(1-7/(x+4))^(-(x+4)/7*((x^2-1)/(2*x)*(-7/(x+4)))$
Ora la quantità $(x^2-1)/(2*x)*(-7/(x+4)) ->1/2 (x->+oo)$ ed è facile da verificare!
Quindi ti rimane $(1-7/(x+4))^(-(x+4)/(2*7)) = (1-7/(x+4))^(-1/2*(x+4)/(7))$ e ora se fai caso hai proprio la forma nota che ti dà come risultato $e^-7$, ma poichè hai anche $1/2$ all'esponente viene $e^(-7/2)$
Ora ricordando il limite notevole $lim_(x->+oo)(1+a/x)^(x/a)=e^a$ (forma generale, se $a=1$ ottieni quello noto)
per applicarlo all'esponente dovresti avere $-(x+4)/7$, giusto!? Beh basta allora moltiplicare e dividere per $-(x+4)/7$ all'esponente e isolare la forma notevole:
$(1-7/(x+4))^(-(x+4)/7*((x^2-1)/(2*x)*(-7/(x+4)))$
Ora la quantità $(x^2-1)/(2*x)*(-7/(x+4)) ->1/2 (x->+oo)$ ed è facile da verificare!
Quindi ti rimane $(1-7/(x+4))^(-(x+4)/(2*7)) = (1-7/(x+4))^(-1/2*(x+4)/(7))$ e ora se fai caso hai proprio la forma nota che ti dà come risultato $e^-7$, ma poichè hai anche $1/2$ all'esponente viene $e^(-7/2)$
Ok risolto grazie mille a tutti! Gentilissimi
P.s. buon anno!
P.s. buon anno!
"Lorin":
Ora ricordando il limite notevole $lim_(x->+oo)(1+a/x)^(x/a)=e^a$ (forma generale, se $a=1$ ottieni quello noto)
Non sono per niente d'accordo con questa frase!
Perchè?
"Raptorista":
[quote="Lorin"]Ora ricordando il limite notevole $lim_(x->+oo)(1+a/x)^(x/a)=e^a$ (forma generale, se $a=1$ ottieni quello noto)
Non sono per niente d'accordo con questa frase!
[/quote]Con quale parte della frase non sei d'accordo?
"ciampax":
[quote="Raptorista"]
Non sono per niente d'accordo con questa frase!
Con quale parte della frase non sei d'accordo?[/quote]
Il limite notevole che ha scritto non mi sembra corretto!
Questo lo avevo capito... quello che volevo capire è se intendevi per come lo ha scritto o perché il risultato corretto del limite è $e$! 
Non ero d'accordo con il risultato ma non ho proposto correzione perché ci sono più correzioni possibili: una è senza dubbio modificare il risultato del limite, ma quella che meglio si adatta al contesto del resto della frase è di cambiare l'esponente [tex]\displaystyle \frac{x}{a}[/tex] in [tex]x[/tex]: questo fa quadrare tutto quanto
Edit: rileggendo il testo, il discorso fila anche bene con entrambe le correzioni, quindi sono del tutto equivalenti.
Detto questo vado a dormire prima di dire qualche boiata come nell'altro topic, non voglio che ciampax si abitui ad avere "più ragione" di me
Buona notte a tutti!
Edit: rileggendo il testo, il discorso fila anche bene con entrambe le correzioni, quindi sono del tutto equivalenti.
Detto questo vado a dormire prima di dire qualche boiata come nell'altro topic, non voglio che ciampax si abitui ad avere "più ragione" di me
Buona notte a tutti!
Chiedo scusa se ho fatto qualche piccolo errore di spiegazione.
"Lorin":
Chiedo scusa se ho fatto qualche piccolo errore di spiegazione.
Non c'è problema, nessuno di noi qui è infallibile
In pratica a quanto ho capito, ho fatto un errore nella spiegazione teorica, ma nella pratica poi la spiegazione è giusta!?
@Lorin: È tutto giusto tranne il limite notevole, che hai scritto facendo un merge di due formule diverse. Però l'errore è solo nel post e non nella tua testa, infatti il resto del post è corretto ed è coerente con la formula giusta.
Si si giusto. Beh ti ringrazio allora...buon lavoro!
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