Lim o limsup ? (serie di potenze)

[kobeilprofeta]

$\sum_0^{\infty} frac{(n+1)*2^n}{3^{n+2}}(x+4)^n$
Per calcolare il raggio di convergenza il mio libro fa così:
$1/(rho)="lim sup"_{n to \+infty} root(n)(frac{(n+1)*2^n}{3^{n+2}})=2/3$
In pratica ha fatto il lim per n->oo

Però io mi chiedo... se esistesse un $n_0$ t.c. $root(n_0)(frac{(n_0+1)*2^{n_0}}{3^{n_0+2}})>2/3$... il limsup non sarebbe 2/3, guisto?

[cooper1]

il limite superiore è per definizione il massimo della sotto-successione $ {x_(n_k)} $ tale che $ lim_(k -> + oo) x_(n_k) $ (cioè della classe limite). nel tuo caso la radice k-esima. se per esempio le sotto-successioni della tua successione iniziale convergessero a 2/3 e 5 la tua classe limite sarebbe $ xi = {2/3; 5 } $ . di conseguenza il limite superiore sarebbe 5. quindi per rispondere alla tua domanda, si non sarebbe più 2/3

[kobeilprofeta]

quindi devo cercare il max dei pti di accumulazione della successione $root(n)(|a_n|)$ ?

[theras]

Si,se il termine generale della successione $"{|a"_"n""|"^{"1"/"n"}"}"_{"n"in NN}$ è oscillante:
ma se invece converge,non hai dubbi sul valore di quel limite superiore(e se è per questo neanche del limite inferiore..).
Saluti dal web.

[cooper1]

si solo se è oscillante perchè altrimenti hai un teorema che afferma che se una successione converge a p allora anche tutte le sue sotto-successioni convergono allo stesso limite p.

[gugo82]

Come ricordato da altri, c'è un bel teoremino sulle successioni che assicura:

Sia $(a_n)$ una successione di numeri reali.
La $(a_n)$ ha limite se e solo se risulta:
\[
\liminf_{n\to \infty} a_n = \limsup_{n\to \infty} a_n\; ;
\]
in tal caso, il \(\displaystyle \lim_{n\to \infty} a_n\) coincide con il valore comune di massimo e minimo limite di $(a_n)$.

Da questo risultato fondamentale della teoria delle successioni discende che nel Teorema di Cauchy-Hadamard sulla determinazione del raggio di convergenza di una s.d.p., cioè:

Sia \(\sum a_n(x-x_0)^n\) una s.d.p.
Il raggio di convergenza della serie è dato da:
\[
\rho = \frac{1}{\limsup_{n\to \infty} |a_n|^{1/n}}\; ,
\]
con la convenzione di porre $\rho = 0$ [risp. $=\infty$] quando \(\displaystyle \limsup_{n\to \infty} |a_n|^{1/n} = +\infty\) [risp. $=0$].

il \(\limsup\) può essere comodamente rimpiazzato dal buon vecchio \(\lim\), non appena tale \(\lim\) esista.

[kobeilprofeta]

grazie a tutti e tre