$ \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin \left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{x}} $

[pincopallino042]

Salve a tutti. Sto cercando di calcolare $ \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin \left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{x}} $. Ho notato che si tratta di una forma indeterminata $ \frac{0}{0} $. Potrei applicare de l'Hopital, ma sospetto che verrà un calcolo mostruoso. Noto però che, per i limiti notevoli,
\[
e^{\frac{1}{n^2}} \sim \frac{1}{n^2}
\] [nota]$\frac{1}{n^2} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota].
e che
\[
\sin \left( \frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}
\]
[nota]$\frac{1}{n} \to 0 $ per $ n \to +\infty $[/nota].
Sostituendo tutto all'interno del limite che sto calcolando, scopro che esso diverge a $ -\infty $.
è giusto?

[pilloeffe]

Ciao pincopallino04,

Immagino che il limite proposto in realtà sia il seguente:

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}} $

Tale limite in effetti risulta $-\infty $, ma hai scritto delle cose non corrette e non mi è affatto chiaro come hai ottenuto il risultato:

$ \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{\sin \left(\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{n^2}}-1}{1/n^2} \cdot \lim_{n \to +\infty}\frac{1/n^2}{\sin(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}} = \lim_{n \to +\infty}\frac{1/n^2}{\sin(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n}} $

L'ultimo limite scritto si può risolvere sviluppando in serie:

$sin(1/n) = 1/n - 1/(6n^3) + o(1/n^5) \implies sin(1/n) - 1/n = - 1/(6n^3) + o(1/n^5) $