$lim_(n) root{n}{n} = 1$

[Seneca1]

$lim_( n ) root{n}{n} = 1$

Definizione di limite:

$AA epsilon > 0 , EE bar{n} : AA n , n > bar{n}$

$Rightarrow 1 - epsilon < root{n}{n} < 1 + epsilon$

Dividiamo $1 - epsilon < root{n}{n} < 1 + epsilon$ in due casi:


1) $1 - epsilon < root{n}{n}$ :

Poiché $AA n in NN , 0 < epsilon < 1$ è $(1 - epsilon)^n >= 1 - n epsilon$ , allora:

$1 - epsilon < root{n}{n}$

$Rightarrow 1 - n epsilon <= (1 - epsilon)^n < n $

$Rightarrow 1 - n epsilon < n $

$Rightarrow n > 1/(1 + epsilon)$

Che è soddisfatta per tutti i naturali.




2) Poi $root{n}{n} < 1 + epsilon$ :

Poiché $AA n in NN , AA epsilon >= 0$ è $(1 + epsilon)^n >= 1 + n epsilon$ , allora:

$root{n}{n} < 1 + epsilon$

$Rightarrow n < (1 + epsilon)^n >= 1 + n epsilon$

$ Rightarrow n < 1 + n epsilon$

$Rightarrow n < 1/(1 - epsilon)$

Non è restrittivo considerare, come nel caso precedente, $0 < epsilon < 1$.

Quindi, fissato $0 < epsilon <1$, i naturali $bar{n}$ che soddisfano la definizione di limite sono i seguenti: $n < 1/(1 - epsilon)$.


E' giusto?

Grazie in anticipo.

[Rigel1]

"Seneca":
$Rightarrow n < (1 + epsilon)^n >= 1 + n epsilon$

Direi che qui c'è un problema.

Riguardo il punto 1), basta osservare che $root(n)(n) \ge 1 > 1 - \epsilon$ per ogni $n\ge 1$.

[Seneca1]

Grazie Rigel.

"Rigel":[quote="Seneca"]
$Rightarrow n < (1 + epsilon)^n >= 1 + n epsilon$

Direi che qui c'è un problema.

[/quote]

Allora potrei fare:

$n < ( 1 + epsilon )^n <= 1 + epsilon 3^n$ (con $0 < epsilon < 1$)

$(n - 1)/epsilon <= 3^n$

Qui è chiaro che non è vera per ogni $n$ perché dipende da quanto è piccolo $epsilon$. Ma fissato $epsilon$ (arbitrario) sono certo che esiste un $n$ tale che $3^n$ superi $(n - 1)/epsilon$.

Così va bene?

"Rigel":
Riguardo il punto 1), basta osservare che $root(n)(n) \ge 1 > 1 - \epsilon$ per ogni $n\ge 1$.

Qui ci siamo.

[Rigel1]

La disuguaglianza da te scritta è senz'altro vera definitivamente, purché 0<\epsilon < 2$.
L'unico rischio è che per calcolare un limite con la definizione si faccia uso di altri limiti non necessariamente più facili, se non equivalenti.

[Rigel1]

Comunque, la dimostrazione più breve che ti porta a concludere che quel limite vale $1$ penso sia quella che puoi trovare sul Rudin, "Principles...".
Poni $x_n := root(n)(n) -1$. Chiaramente $x_n\ge 0$. Inoltre hai che
$n = (1+x_n)^n = \sum_{j=0}^n ((n),(j)) x_n^j \ge \frac{n(n-1)}{2} x_n^2$,
da cui ricavi
$0\le x_n \le (\frac{2}{n-1})^{1/2}$.
La tesi segue ora dal teorema del confronto.