$lim_(n->+oo) 1/a_n=0$

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Vorrei sottoporvi un problemino che mi pare semplice (volevo postarlo nella sezione per la secondaria, ma, dati certi formalismi richiesti e il fatto che l'ho trovato in un testo di analisi per l'università, posto qui...).
Il mio libro dice che, se $a_n!=0$, si ha che
$lim_(n->+oo) a_n=+oo => lim_(n->+oo) 1/a_n=0$
il che mi pare non troppo difficile da dimostrare perché, dalla definizione di successione divergente
$lim_(n->+oo) a_n=+oo <=> AA M>0, EE N:(n>N => a_n>M)$
per cui, tenendo conto della definizione di limite come
$lim_(n->+oo)a_n=x <=> AA\epsilon>0, EEN:(n>N => |a_n-x|<\epsilon)$
direi che per ogni $M>0$ e per ogni $\epsilon>0$ persino minore di $1/M$
$EE N:(n>N => |1/a_n-0|=|1/a_n|<\epsilon<=1/M)$. Per favore, se ho scritto delle stupidate, correggetemi...
Chiede poi vale l'implicazione opposta e qui direi di no, ma piuttosto direi che vale sempre la doppia implicazione che
$lim_(n->+oo) 1/a_n=0 <=> lim_(n->+oo) a_n=+-oo$
Giusto?
Grazie di cuore a tutti!!!

[dissonance]

E no, non è vera questa doppia implicazione. Per esempio prendi

\[a_n=(-1)^n n.\]

Hai che \(1 /a_n \to 0\) ma \(a_n\) non converge. E' vero invece che

\[\lim_{n \to \infty}\frac{1}{a_n}=0 \ \iff \ \lim_{n \to \infty}\lvert a_n \rvert =+\infty.\]

[theras]

Ciao!
Tutto ben fatto direi,
anche se ad ex io non userei N ma il simbolo $\vartheta_(\epsilon)$ e specificherei che $\vartheta_(\epsilon)inNN$
(ma è solo eredità dell'estetica che m'han costretto a sviluppare ai tempi del mio corso d'Analisi I,
perchè in realtà basta mettersi d'accordo sul significato dei simboli che tu dai invece per implicito..);
solo che una sbavatura formale,benchè sia del tutto chiaro cosa vuoi dire,
non riesce a non saltarmi all'occhio nell'ultima equivalenza logica che hai scritto:
forse sarebbe più il caso,
tanto per evitare di far venire il dubbio che vuoi fare a pugni col teorema d'unicità del limite quanto per omaggiare il concetto di successione infinitamente grande che avrai certamente trattato,
che tu scriva $lim_(n->+oo)1/(a_n)=0hArrlim_(n->+oo)|a_n|=+oo$..
Saluti dal web.

[DavideGenova1]

Grazie $-> +oo$ a tutti e due, ragazzi!!!
Non avevo pensato all'esistenza di casi simili a $lim_n 1/((-1)^n n)=0$...
Ciao!

[theras]

Bene,continua così!
Ne approfitto per chiedere pure a Dissonance,
visto che pure lui come Martino è buon moderatore delle discussioni non violente di questo condominio,
se c'è modo di evitare la contemporaneità(o quasi..)delle risposte:
e la terza volta che mi capita la stessa cosa da ieri,
ed inizia a diventare motivo di autocensura quando trovo il tempo per dare qualche risposta..
Saluti dal web.