Lim inf e lim sup
Salve,
non mi è chiaro il concetto di limite superiore e limite inferiore di una successione.
Chi può chiarirmi tale concetto, spero con degli esempi?
non mi è chiaro il concetto di limite superiore e limite inferiore di una successione.
Chi può chiarirmi tale concetto, spero con degli esempi?
Risposte
A livello estremamente intuitivo, probabilmente anche un po' grottesco, il limite superiore rappresenta una sorta di "sbarramento" dall'alto di una data successione. Solitamente viene utilizzato per trattare alcune successioni che presentano termini oscillanti, e per provare che esse "stanno definitivamente al di sotto di un dato valore" (il tutto si può dualizzare per il limite inferiore).
Più formalmente... Conosci la definizione? L'hai capita ed interiorizzata? Esponi in maniera più piana i tuoi dubbi.
Più formalmente... Conosci la definizione? L'hai capita ed interiorizzata? Esponi in maniera più piana i tuoi dubbi.
Puoi considerare una successione h \(\displaystyle \leq \) an \(\displaystyle \leq \) k, quindi una successione limitata che ha per massimo il numero reale k e per minimo il numero h. Ora considera un insieme così definito:
A = { x \(\displaystyle \in \) R tali che an \(\displaystyle \leq \) x }. Questo è l'insieme dei definitivamente maggioranti, dove per maggiorante si intende un numero più grande di ogni termine della successione da te considerata. Il termine definitivamente, invece, sta ad indicare che tale proprietà è valida a partire da un certo indice N naturale. Per definire della proprietà su un insieme questo dev'essere non vuoto e in questo caso non lo è, dato che k \(\displaystyle \in \) A (essendo an \(\displaystyle \leq \) k). Ora, per definizione:
limsup {an} = inf A (dove inf = estremo inferiore)
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \)
Osserva che
limsup {an} \(\displaystyle \leq \) sup {an}
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \)
(infatti sup {an} è il minimo di A, mentre limsup {an} = estremo inferiore di A).
Ora consideriamo un secondo insieme:
B = { x \(\displaystyle \in \) R tali che an \(\displaystyle \geq \) x}. Anche B non è vuoto, infatti h \(\displaystyle \in \) B.
B è l'insieme dei definitivamente minoranti per an, cioè di tutti quei reali più piccoli della successione (definitivamente).
Per definizione:
liminf {an} = sup B
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \).
Inoltre:
liminf {an} \(\displaystyle \geq \) inf {an}
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \).
A = { x \(\displaystyle \in \) R tali che an \(\displaystyle \leq \) x }. Questo è l'insieme dei definitivamente maggioranti, dove per maggiorante si intende un numero più grande di ogni termine della successione da te considerata. Il termine definitivamente, invece, sta ad indicare che tale proprietà è valida a partire da un certo indice N naturale. Per definire della proprietà su un insieme questo dev'essere non vuoto e in questo caso non lo è, dato che k \(\displaystyle \in \) A (essendo an \(\displaystyle \leq \) k). Ora, per definizione:
limsup {an} = inf A (dove inf = estremo inferiore)
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \)
Osserva che
limsup {an} \(\displaystyle \leq \) sup {an}
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \)
(infatti sup {an} è il minimo di A, mentre limsup {an} = estremo inferiore di A).
Ora consideriamo un secondo insieme:
B = { x \(\displaystyle \in \) R tali che an \(\displaystyle \geq \) x}. Anche B non è vuoto, infatti h \(\displaystyle \in \) B.
B è l'insieme dei definitivamente minoranti per an, cioè di tutti quei reali più piccoli della successione (definitivamente).
Per definizione:
liminf {an} = sup B
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \).
Inoltre:
liminf {an} \(\displaystyle \geq \) inf {an}
n\(\displaystyle \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \).
"Delirium":
A livello estremamente intuitivo, probabilmente anche un po' grottesco, il limite superiore rappresenta una sorta di "sbarramento" dall'alto di una data successione.
"Grottesco" non direi.
Anche io tendo a percepire così il lim sup, uno "sbarramento" che la successione può anche superare sporadicamente ma da cui è attratta in modo irresistibile, tanto che asintoticamente deve tornarne al di sotto. Detto questo, la definizione che trovo più intuitiva è quella di "massimo dei punti limite": è il più grande numero reale (eventualmente \(+\infty\)) a cui tende una sottosuccessione della successione data.
Grazie a tutti, mi avete aiutato a percepire questo concetto intuitivamente 
il problema ora è che non riesco a capire questa definizione che viene data a PAG 43 del seguente link:
http://aportaluri.files.wordpress.com/2 ... 341434.pdf
ho trovato questa dispensa sul web e mi sembra molto chiara e utile.
Ecco: non riesco a capire da quali elementi $k$ sia composta la successione $(e'_n)$.. che vuol dire che essa è l' $Inf_(k\geqn) (a_k)$? quali sono questi $k$ e che vuol dire che "ad ogni passo si calcola l’estremo inferiore su un insieme più piccolo"?
grazie mille a tutti
il problema ora è che non riesco a capire questa definizione che viene data a PAG 43 del seguente link:
http://aportaluri.files.wordpress.com/2 ... 341434.pdf
ho trovato questa dispensa sul web e mi sembra molto chiara e utile.
Ecco: non riesco a capire da quali elementi $k$ sia composta la successione $(e'_n)$.. che vuol dire che essa è l' $Inf_(k\geqn) (a_k)$? quali sono questi $k$ e che vuol dire che "ad ogni passo si calcola l’estremo inferiore su un insieme più piccolo"?
grazie mille a tutti
Sai dissonance, ho sempre il timore di "stuprare" una definizione o un concetto matematico con un approccio troppo intuitivo... Questo il motivo dell'utilizzo di quell'aggettivo.
@Dino 92: la successione indicata con \(\displaystyle (e'_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) è la successione degli estremi inferiori degli insiemi \(\displaystyle \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \} \), \(\displaystyle \forall \ n \in\ \mathbb{N} \). Quanto alla monotonia di tale successione (poiché a questa peculiarità fa riferimento la frase che hai riportato), ricordo che se \(\displaystyle A,B\) sono due sottoinsiemi non vuoti di \(\displaystyle \mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle A \subseteq B \), si ha \(\displaystyle \inf B \le \inf A \); poiché si ha del resto \(\displaystyle \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n+1 \} \subseteq \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \} \), ne discende che \(\displaystyle e'_{n} \le e'_{n+1} \).
@Dino 92: la successione indicata con \(\displaystyle (e'_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) è la successione degli estremi inferiori degli insiemi \(\displaystyle \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \} \), \(\displaystyle \forall \ n \in\ \mathbb{N} \). Quanto alla monotonia di tale successione (poiché a questa peculiarità fa riferimento la frase che hai riportato), ricordo che se \(\displaystyle A,B\) sono due sottoinsiemi non vuoti di \(\displaystyle \mathbb{R} \) tali che \(\displaystyle A \subseteq B \), si ha \(\displaystyle \inf B \le \inf A \); poiché si ha del resto \(\displaystyle \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n+1 \} \subseteq \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \} \), ne discende che \(\displaystyle e'_{n} \le e'_{n+1} \).
Dunque la successione $e'$ è composta dai rispettivi valori che assume la successione $(a_n)_(n in NN)$ per i valori di $k>n$?
ti ringrazio.
Al fine di rendere operativo quanto detto, se io ti do la successione $(2^n)_(n in NN)$, quale è il $lim$ $Inf$ e quale il $lim$ $Sup$? Operativamente, come hai proceduto?
ti ringrazio.
Al fine di rendere operativo quanto detto, se io ti do la successione $(2^n)_(n in NN)$, quale è il $lim$ $Inf$ e quale il $lim$ $Sup$? Operativamente, come hai proceduto?
"Dino 92":
Dunque la successione $e'$ è composta dai rispettivi valori che assume la successione $(a_n)_(n in NN)$ per i valori di $k>n$?
[...]
Quanto dici ha poco senso. Ora vado a cenare, poi ti rispondo con calma.
Ti ringrazio per la disponibilità, e mi scuso per il disturbo arrecatoti
Nessun disturbo, non preoccuparti.
Allora, la successione \(\displaystyle (e'_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) viene costruita ponendo \(\displaystyle e'_{n}=\inf \; \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \}=\inf_{k \ge n} \; a_{k} \), quindi il termine n-esimo di tale successione sarà l'estremo inferiore dell'insieme \(\displaystyle \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \} \ [1] \) ( - questo qui a sinistra è l'insieme dei termini della successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) tali che il loro indice è maggiore dell' \(\displaystyle n \) considerato).
Come potrai notare da te, \(\displaystyle e'_{0}= \inf \; \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge 0 \} \), \(\displaystyle e'_{1}= \inf \; \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge 1 \} \) e così via; al crescere quindi di \(\displaystyle n \), l'insieme \(\displaystyle [1] \) si restringe (da cui le osservazioni da me fatte nel post precedente).
Il calcolo dei limiti della successione che proponi non è propedeutico: infatti risulta \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup \; 2^{n}=\lim_{n \to \infty} \inf \; 2^{n}=\lim_{n \to \infty} 2^{n}=\infty\).
Allora, la successione \(\displaystyle (e'_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) viene costruita ponendo \(\displaystyle e'_{n}=\inf \; \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \}=\inf_{k \ge n} \; a_{k} \), quindi il termine n-esimo di tale successione sarà l'estremo inferiore dell'insieme \(\displaystyle \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge n \} \ [1] \) ( - questo qui a sinistra è l'insieme dei termini della successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) tali che il loro indice è maggiore dell' \(\displaystyle n \) considerato).
Come potrai notare da te, \(\displaystyle e'_{0}= \inf \; \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge 0 \} \), \(\displaystyle e'_{1}= \inf \; \{a_{k} \in \mathbb{R} : k \ge 1 \} \) e così via; al crescere quindi di \(\displaystyle n \), l'insieme \(\displaystyle [1] \) si restringe (da cui le osservazioni da me fatte nel post precedente).
Il calcolo dei limiti della successione che proponi non è propedeutico: infatti risulta \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sup \; 2^{n}=\lim_{n \to \infty} \inf \; 2^{n}=\lim_{n \to \infty} 2^{n}=\infty\).
Ti ringrazio ho capito alla perfezione..questi sono concetti che, una volta assimilati, ti sembrano ovvi ma il problema è assimilarli! quindi ti ringrazio per la tua chiarezza e pazienza.
ma il problema è assimilarli! quindi ti ringrazio per la tua chiarezza e pazienza.
Bene, sono contento di averti chiarito questo dubbio.
Operativamente, la definizione da usarsi per l'eventuale verifica in un esercizio è quella che viene indicata come Proposizione 2.4.1 a pag. 43 della dispensa a cui hai fatto riferimento.
Operativamente, la definizione da usarsi per l'eventuale verifica in un esercizio è quella che viene indicata come Proposizione 2.4.1 a pag. 43 della dispensa a cui hai fatto riferimento.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo