L'esistenza di un asintoto obliquo implica la monotonia?

[alegubb]

salve a tutti,
la domanda è proprio quella del titolo; in particolare un esercizio mi ha fatto venire il dubbio:
se f(x) ammette un asintoto obliquo di equazione y=3x+5 per x tendente a più infinito si puo dire che f(x) è definitivamente crescente per x-> a più infinito? se cosi non è fornire un controesempio

penso che se f'(x) ammette limite è vero, ma gli altri casi non so come affrontarli. E possibile che f(x) oscilli intorno l'asintoto e non sia def. crescente?

[gugo82]

Certo che è possibile.
Prendi una funzione fatta così:
[asvg]xmin=0; xmax=10; ymin=0; ymax=10;
axes("","");
stroke="grey"; line([-1,-1],[11,11]);
stroke="red"; strokewidth=2; plot("x+(2sin(x^2))/(x)",1,11);[/asvg]
ad esempio...


P.S.: Quella diagrammata è \(f:[1,\infty[\to \mathbb{R}\) definita ponendo:
\[
f(x) := x + \frac{2\sin x^2}{\sqrt{x}}\; .
\]
Che tale funzione abbia come asintoto obliquo la retta di equazione \(y=x\) è ovvio; d'altro canto è:
\[
f^\prime (x) = 1 + 4\ \sqrt{x}\ \cos x^2 - \frac{\sin x^2}{x\ \sqrt{x}}
\]
e da ciò segue che:
\[
\begin{split}
\limsup_{x\to \infty} f^\prime (x) &= \infty\\
\liminf_{x\to -\infty} f^\prime (x) &= -\infty
\end{split}
\]
quindi \(f\) non può essere monotona in alcun intorno di \(\infty\).

[alegubb]

Grazie mille!