L'eq. diff. più semplice del mondo, ma...

[Rigel1]

"Sergio":È un po' troppo "sportivo" l'autore, oppure mi sfugge qualcosa?

Risponderei affermativamente alla prima domanda.
L'equazione viene risolta come un'equazione a variabili separabili, cioè del tipo \(y' = g(t) h(y)\) (l'equazione, in questo caso, è anche lineare omogenea).
Per tali equazioni occorre individuare inizialmente le eventuali soluzioni costanti (che corrispondono agli zeri della funzione \(h(y)\)); nel tuo caso, l'unica soluzione costante è quella nulla.
Poiché, nel tuo caso, sei in ipotesi di unicità della soluzione, nessun'altra soluzione può intersecare quella nulla; di conseguenza, le altre soluzioni sono o sempre positive o sempre negative. Questo di permette di procedere dividendo per \(y\) etc.

[stormy1]

penso che si possa ragionare in questo modo : tra le soluzioni c'è quella identicamente nulla; se la soluzione non è identicamente nulla,essa non cambia mai di segno ed è del tipo $y=ce^(-int a(t)dt)$ con $c ne 0$
unendo tutte e 2 le possibilità,la soluzione è del tipo $y=ce^(-int a(t)dt)$ con $c in mathbbR$