Lemma sulla norma di integrali
Ho un problema con la preparazione dell'orale di analisi in piu variabili... praticamente il mio professore ci ha lasciato da dimostrare un lemma che serve per una dimostrazione di un teorema più generale, e lui questo esercizio che ci ha lasciato la definisce una banalità... bisogna dimostrare:
"Data $F:[a,b]->R^n$ continua vale:
$ |int_(a)^(b)| <= int_(a)^(b) <|F(t) dt|> $"
Ovviamente in $R$ è un teorema abbastanza facile da dimostrare visto che si dimostra la disuguaglianza con il valore assoluto, ma in piu varibili bisogna considerare la norma di $R^n$ che credo sia la radice della somma delle componenti al quadrato... e non so come dimostrarlo!!!
Grazie per l'attenzione!!
"Data $F:[a,b]->R^n$ continua vale:
$ |int_(a)^(b)
Ovviamente in $R$ è un teorema abbastanza facile da dimostrare visto che si dimostra la disuguaglianza con il valore assoluto, ma in piu varibili bisogna considerare la norma di $R^n$ che credo sia la radice della somma delle componenti al quadrato... e non so come dimostrarlo!!!
Grazie per l'attenzione!!
Risposte
Non so perchè ma non riesco a cancellare questo messaggio.. non ho guardato bene quello che dovevi dimostrare e ho detto una mezza scemenza.
Posto $w=\int_a^b F(t) dt$, ti basta osservare che (usando Cauchy-Schwarz per la disuguaglianza)
[tex]|w|^2 = \langle w, w\rangle = \langle w, \int_a^b F(t) dt\rangle = \int_a^b \langle w, F(t)\rangle dt \leq \int_a^b |w|\cdot |F(t)| dt = |w| \int_a^b |F(t)| dt.[/tex]
[tex]|w|^2 = \langle w, w\rangle = \langle w, \int_a^b F(t) dt\rangle = \int_a^b \langle w, F(t)\rangle dt \leq \int_a^b |w|\cdot |F(t)| dt = |w| \int_a^b |F(t)| dt.[/tex]
@Giuly19: Sisi scusami!!! mi sono espresso male: integro solo in dt, quindi una varibile sola, ma siccome siamo in $R^n$ ho un vettore di funzioni... ecco l'inegrazione di questo affare non so proprio cosa sia!!
@Rigel: come giustifico la terza uguaglianza??? quella dove faccio uscire dall norma l'inegrale in dt?? e poi un altro dubbio: quando scrivi $|w|^2$ siginifica che stiamo usando la norma euclidea o stiamo facendo il quadrato della norma??
@Rigel: come giustifico la terza uguaglianza??? quella dove faccio uscire dall norma l'inegrale in dt?? e poi un altro dubbio: quando scrivi $|w|^2$ siginifica che stiamo usando la norma euclidea o stiamo facendo il quadrato della norma??
Se $w = (w_1, \ldots, w_n)$, come al solito $|w|^2 = w_1^2+\ldots + w_n^2$.
Per la terza uguaglianza:
[tex]\langle w, \int_a^b F(t)dt\rangle = \sum_{i=1}^n w_i \int_a^b F_i(t) dt = \int_a^b [\sum_{i=1}^n w_i F_i(t)] dt = \int_a^b \langle w, F(t)\rangle dt.[/tex]
La successiva disuguaglianza discende direttamente dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
L'ultima uguaglianza dalla linearità dell'integrale di Riemann.
Per la terza uguaglianza:
[tex]\langle w, \int_a^b F(t)dt\rangle = \sum_{i=1}^n w_i \int_a^b F_i(t) dt = \int_a^b [\sum_{i=1}^n w_i F_i(t)] dt = \int_a^b \langle w, F(t)\rangle dt.[/tex]
La successiva disuguaglianza discende direttamente dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.
L'ultima uguaglianza dalla linearità dell'integrale di Riemann.
Ha un suo perchè!!! ho capito!! grazie mille!!!! 
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