Lemma sottosuccessioni, aiuto
A proposito di successioni estratte, sul mio libro c'è un lemma che afferma:
per ogni successione strettamente crescente di numeri naturali, si ha $n_k>=k$. Ma se io prendo questa successione, il lemma non è più rispettato o sbaglio?
Come potete vedere dal disegno che ho fatto, le ordinate $n_k$ sono minori delle rispettive ascisse, mentre il lemma dice il contrario! Dove ho sbagliato? Grazie mille
http://www.iouppo.com/lite/pic/0539e578 ... 0f1df0.png
per ogni successione strettamente crescente di numeri naturali, si ha $n_k>=k$. Ma se io prendo questa successione, il lemma non è più rispettato o sbaglio?
Come potete vedere dal disegno che ho fatto, le ordinate $n_k$ sono minori delle rispettive ascisse, mentre il lemma dice il contrario! Dove ho sbagliato? Grazie mille
http://www.iouppo.com/lite/pic/0539e578 ... 0f1df0.png
Risposte
Se avessi capito bene tale lemma affermerebbe che:
Sia [tex]$\{a_n\in\mathbb{N}\}_{n\in\mathbb{N}}$[/tex] una successione strettamente crescente allora esiste una sua successione estratta [tex]$\{a_{n_k}\in\mathbb{N}\}_{n_k\in\mathbb{N}}$[/tex] tale che [tex]$\forall k\in\mathbb{N},\,a_{n_k}\geq k$[/tex].oppure cosa?
No j18eos, si riferisce al lemma di pag 2.
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco ... ssioni.pdf
Soscia, il fatto è che i vari $n_k$ non puoi prenderli in libertà, sono infatti dei numeri contenuti in una successione di partenza.
Intuitivamente, il lemma te lo puoi spiegare così: hai la successione dei numeri naturali
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ....
e decidi di estrarre alcuni valori.
$n_k$ è la posizione nella nuova successione, $k$ nella vecchia.
Ora se io elimino qualche elemento della vecchia successione, i valori scalano all'indietro. Se ad esempio tolgo 2 e 4 mi ritrovo con
$n_1=1$, $n_2= 3$, $n_3=5$, $n_4=6$ ....
Il $6$ è arretrato, occupa il posto che prima occupava il $4$.
In generale, siccome la succ. è crescente, arretrando occupa un posto che prima toccava ad un elemento più piccolo.
Insomma, non è un granché di spiegazione ma ci si può fare un'idea.
http://calvino.polito.it/canuto-tabacco ... ssioni.pdf
Soscia, il fatto è che i vari $n_k$ non puoi prenderli in libertà, sono infatti dei numeri contenuti in una successione di partenza.
Intuitivamente, il lemma te lo puoi spiegare così: hai la successione dei numeri naturali
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$ ....
e decidi di estrarre alcuni valori.
$n_k$ è la posizione nella nuova successione, $k$ nella vecchia.
Ora se io elimino qualche elemento della vecchia successione, i valori scalano all'indietro. Se ad esempio tolgo 2 e 4 mi ritrovo con
$n_1=1$, $n_2= 3$, $n_3=5$, $n_4=6$ ....
Il $6$ è arretrato, occupa il posto che prima occupava il $4$.
In generale, siccome la succ. è crescente, arretrando occupa un posto che prima toccava ad un elemento più piccolo.
Insomma, non è un granché di spiegazione ma ci si può fare un'idea.
Ma non si risolve tutto una dimostrazioncella semplice semplice per induzione?
Voglio dire... Se [tex]$(n_k)\subseteq \mathbb{N}$[/tex] si ha [tex]$n_0\geq 0$[/tex]; d'altra parte, supponendo che sia vera [tex]$n_k\geq k$[/tex], per l'ipotesi di stretta monotonia su [tex]$(n_k)$[/tex] segue [tex]$n_{k+1}>n_k\geq k$[/tex] e quindi [tex]$n_{k+1}\geq k+1$[/tex] (perchè altrimenti sarebbe [tex]$k< n_{k+1}
Ovviamente tutto ciò è conseguenza dell'ipotesi fondamentale che [tex]$(n_k)\subseteq \mathbb{N}$[/tex].
Voglio dire... Se [tex]$(n_k)\subseteq \mathbb{N}$[/tex] si ha [tex]$n_0\geq 0$[/tex]; d'altra parte, supponendo che sia vera [tex]$n_k\geq k$[/tex], per l'ipotesi di stretta monotonia su [tex]$(n_k)$[/tex] segue [tex]$n_{k+1}>n_k\geq k$[/tex] e quindi [tex]$n_{k+1}\geq k+1$[/tex] (perchè altrimenti sarebbe [tex]$k< n_{k+1}
Ovviamente tutto ciò è conseguenza dell'ipotesi fondamentale che [tex]$(n_k)\subseteq \mathbb{N}$[/tex].
Penso che il problema non fosse nella dimostrazione del lemma (che appunto ho sempre visto mostrato per induzione, come nel link che ho postato) ma nel perché della non validità del "controesempio" che Soscia aveva pensato.
Beh, detto esplicitamente che controesempi non possono esistere (perchè il teorema è dimostrato), mi pare chiaro che ogni presunto controesempio a questo fatto deve presentare almeno uno dei due errori: a esiste [tex]$k$[/tex] tale che [tex]$n_k\notin \mathbb{N}$[/tex] o b esiste [tex]$k$[/tex] tale che [tex]$n_k\geq n_{k+1}$[/tex].
Quindi trovare l'errore dovrebbe essere banale.
Quindi trovare l'errore dovrebbe essere banale.
"gugo82":
Beh, detto esplicitamente che controesempi non possono esistere (perchè il teorema è dimostrato), mi pare chiaro che ogni presunto controesempio a questo fatto deve presentare almeno uno dei due errori: a esiste [tex]$k$[/tex] tale che [tex]$n_k\notin \mathbb{N}$[/tex] o b esiste [tex]$k$[/tex] tale che [tex]$n_k\geq n_{k+1}$[/tex].
Quindi trovare l'errore dovrebbe essere banale.
Non penso che una dimostrazione risolva i miei dubbi. Spesso i libri dimostrano soltanto i teoremi, senza però spendere qualche parola per illustrare bene il significato del teorema. La dimostrazione per induzione l'ho capita, quello che non ho capito è il significato esatto del lemma.
innanzitutto vorrei che qualcuno mi confermasse se il concetto di successione estratta che ho in mente è giusto. Si consideri una successione di numeri reali ${a_n}$, quindi definita da N a R. Si consideri ora una successione $n_k$ strettamente crescente di numeri naturali, quindi definita da N a N. Ora, le ordinate $n_k$ di questa successione diventano le ascisse della successione ${a_n}$, che , dunque, non assume più tutti i valori di prima, ma solo alcuni. Quest'ultima successione, si chiama sottosuccessione e si indica con $a(n_k)$. Va bene?
Il linguaggio potrebbe essere migliorato, ma direi che hai afferrato il significato.
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