Lemma Jordan, piccolo e grande cerchio

[mic_1]

Ciao a tutti!

Ho la documentazione relativa ai 3 lemmi sopra citati, ma non riesco ad applicarla all'esercizio:
Ad esempio, Calcolo l'integrale usando metodi dell'analisi complessa [tex]I=\displaystyle\int_{0}^{\infty} \, (1-cosx)dx / x^2[/tex]

La prima cosa che farei è considerare l'integrale nel seg modo [tex]I=(1/2)Re\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \, (1-e^i^z)dz / z^2[/tex] con polo semplice in z=0.

In questo caso ho solo un polo semplice ma se avessi avuto ad esempio [tex]z=\pm 1[/tex] o [tex]z=3[/tex] e [tex]z=-2[/tex], allora avrei dovuto considerare tali valori nell'asse delle ascisse corrispondente al fatto che nell'integrale è la parte Re ad essere considerata.

Ora la mia domanda è questa: Quando considero tali punti interni o esterni al cerchio? e quando considero graficamente la parte Im<0 o Im>0?
Il piccolo cerchio si applica quando ho dei punti isolati giusto? anche per il polo semplice?

Qualcuno mi potrbbe dare una dritta???

Grazie!!!!!

[mic_1]

[ciampax]

mic, credo che rischi la pelle se continui con questi "up"!

[mic_1]

scusatemi, ho letto il regolamento, ma non sono molto pratica con il forum e a dir la verità non uso neanche le chat anche se può sembrare fuori dal comune... cmq ringrazio e farò più attenzione!!

[pater46]

Provo a risponderti, dato che anche io sto studiando Analisi3.

Non ho capito se sai come risolvere l'integrale che hai citato.. in ogni caso:

1) Come hai notato tu, l'integranda è pari e quindi puoi considerare l'integrale come metà della parte reale dell'integrale.

2) Che cammino scegliamo? Aiutiamoci coi lemmi del cerchio grande e piccolo, consideriamo la curva siffatta:
- $\Gamma_R$: Semicerchio di raggio r centrato sull'origine
- $\gamma_s$: segmento di lunghezza $2R$, sostegno della curva di eq: $z=t, t in [-R, R]$

Ora... c'è un problema! La discontinuità cade proprio su questo segmento ( come hai visto, sta in $0_CC$ ). Che fare?
Consideriamo il semicerchio centrato in $0_CC$ e di raggio $\epsilon$, così da avere come cammino di integrazione:

$\Gamma = \Gamma_R cup \gamma_(s_1) cup \Gamma_\epsilon cup \gamma_(s_2)$.
Dato che $Gamma$ va percorsa in senso antiorario, e $Gamma_\epsilon$ è percorsa in senso orario, dobbiamo ricordarci di mettere un $-$ davanti all'integrale esteso a questa curva.

Naturalmente, poichè dobbiamo integrare in $]-oo, +oo[$, $R$ deve tendere a $+oo$, mentre $epsilon$ deve tendere a $0$.
Così, all'integrale esteso a $Gamma_R$ possiamo applicare il lemma del cerchio grande, mente a quello esteso a $Gamma_epsilon$ possiamo applicare quello del cerchio piccolo.

Per il teorema dei residui, inoltre, avremo:

$int_\Gamma f(z)dz = int_\Gamma_R f(z)dz + int_(\gamma_(s_1)) f(z)dz - int_(\Gamma_\epsilon) f(z)dz + int_(\gamma_(s_2)) f(z)dz = 0$.

Nota il $-$ davanti all'integrale della semicirconferenza intorno allo $0_CC$, ed il fatto che il tutto deve venire $0$ in quanto non vi sono punti di discontinuità nell'interno di questa curva.


Spero di non aver frainteso i tuoi dubbi.. dimmi tu!

[pater46]

PS: ovviamente questo esempio non ti deve fare pensare che si debbano "circumnavigare" tutte le discontinuità! In questo caso cade proprio sul nostro cammino e dunque abbiamo dovuto ovviare così. Se Ci fosse stata una discontinuità, che so, in $e^(ipi/3)$, avremmo dovuto tenerne conto durante l'applicazione della formula di Cauchy-Goursat, ed il contributo del residuo sarebbe stato di:

$2pi i Res( f(z), e^(ipi/3)) $

[mic_1]

Ti ringrazio per le indicazioni, sono state utili e scusami ma se non ricordo male, nella somma degli integrali il segno di un integrale risulterebbe negativo quando il verso di percorrenza è opposto alla direzione del cammino o meglio nel caso di un semicerchio gli integrali risultano tutti positivi, mentre nel caso di un cerchio completo considendo sempre un polo semplice isolato esempio z=0, allora in quel caso avrò un tratto 'taglio di diramazione' che nell'asse Reale risulterà avere un verso opposto e quindi negativo. Confermi?

Ne approfitto per chiederti un confronto sul lemma di Jordan: sto guardando un esercizio in cui viene applicato questo lemma considerando che la funzione contiene un'esponenziale; ora in base alla costante K, K >0 o K<0 si considera il semicerchio nella parte Im superiore o inferiore.

Ho ancora poco chiaro come stabilire che la funzione sia nel piano Im superiore o inferiore.

Esempio: [tex]I= \displaystyle\int_{0}^{\inf} [1-cos(3x)]/x^2\, dx[/tex] nello svolgimento dell'esercizio dice che si può applicare il lemma di Jordan nella parte Im>0. In base a cosa lo si stabilisce? e quando invece risulta nella parte Im<0?

[mic_1]

ciao ragazzi...sono di nuovo qui a chiedervi info sull'analisi complessa e più precisamente....quando ho un integrale il cui denominatore possiede diversi valori di z... in base a cosa si dichiara che i punti sono interni, esterni o di frontiera alla semicirc. o circ.?

Esempio:
nell'esercizio iniziale di questo post avevo inserito un integrale la cui funzione possedeva come denominatore [tex]z^2[/tex] quindi si ha un polo semplice [tex]z=0[/tex] ,
ma se avessi avuto una funzione del tipo [tex]f(x)={2z\over (z^2-1)(2z^2-5z+2)}[/tex], preso da un testo di analisi, con punti [tex]z=\pm i[/tex] , [tex]z=1/2[/tex] e [tex]z=2[/tex], in base a cosa esattamente è possibile dire che è proprio [tex]z=2[/tex] ad essere esterno alla circonferenza C di raggio [tex]\sqrt2[/tex], come indicato nello svolgimento dell'esercizio, e quindi escluso nel calcolo dei residui?

Qualcuno potrebbe spiegarmi come fare? Grazie 1000

[gugo82]

In base ad un disegno, ad esempio.

[mic_1]

cioè?? riguardando il caso riportato sopra, ipotizzo che [tex]z=2[/tex] venga considerato punto esterno dal momento che viene indicato il raggio della circonferenza di [z=\sqrt 2] e quindi superiore al tal valore.

Ora mi chiedo...se nel testo dell'esercizio non viene specificato nulla se non di determinare l'integrale con il metodo dell'analisi complessa...come devo procedere...quale riferimento devo tener conto?
Penso che il grafico poi venga di conseguenza alle diverse valutazioni fatte? o no?

[gugo82]

Innanzitutto i punti singolari di:

[tex]$f(z):=\frac{2z}{(z^2-1)(2z^2-5z+2)}$[/tex]

sono [tex]$\pm 1, \tfrac{1}{2}, 2$[/tex].

Facendo un disegno:
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
circle([0,0],1.14);
stroke="dodgerblue"; dot([1,0]); dot([-1,0]); dot([0.5,0]);
stroke="red"; dot([2,0]);[/asvg]
ti accorgi che [tex]$\pm 1, \tfrac{1}{2}$[/tex] (in blu) cadono dentro il dominio delimitato dalla circonferenza [tex]$C$[/tex], mentre [tex]$2$[/tex] (in rosso) cade fuori.

In generale per risolvere un integrale complesso con i teoremi dei residui, devi innanzitutto determinare le singolarità della funzione integranda; dopodiché determini quelle singolarità che cadono dentro il dominio delimitato dal contorno d'integrazione; poi calcoli i residui relativi alle singolarità interne al dominio; infine applichi il teorema.
Ovviamente per decidere quali sono le singolarità interne al dominio conviene fare un disegno del contorno d'integrazione, in generale.

[mic_1]

Che sbadata che sono....!!!! Nel mio primo esercizio il dominio di integrazione risultano essere tutti i positivi compresi tra 0 e infinito...!!!
Grazie 1000!!!! Sei proprio bravo a spiegare che mi hai acceso subito la lampadina!!!!
Complimenti!!!

[gugo82]

Aspetta un po'... Sono due cose diverse.

La tecnica che ti ho spiegato prima è applicabile agli integrali del tipo [tex]$\int_{+\Gamma} f(z)\ \text{d} z$[/tex], per i quali il contorno d'integrazione [tex]$\Gamma$[/tex] e la funzione integranda complessa [tex]$f(z)$[/tex] sono già assegnati.

La cosa è diversa quando hai a che fare con integrali reali da calcolare coi residui, ossia con integrali del tipo [tex]\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x[/tex]: infatti in tal caso non sono assegnati né una curva nel piano complesso, né una funzione integranda complessa, che devi andare a scegliere con un po' di furbizia.

In casi come questo devi fare così: innanzitutto determini una funzione ausiliaria [tex]$f(z)$[/tex] che ti può essere utile per calcolare l'integrale (ad esempio, nel tuo caso è [tex]$\tfrac{1-e^{\imath z}}{z^2}$[/tex]); poi devi studiarne le singolarità; dopodiché devi determinare un contorno d'integrazione in modo che si possa passare al limite ed ottenere (mediante l'applicazione di teoremi, come i lemmi di Jordan) il risultato dell'integrale reale.
Insomma, in questi casi c'è più da pensare.

Ad esempio, abbiamo visto che nel tuo caso conviene fissare [tex]$f(z)=\tfrac{1-e^{\imath z}}{z^2}$[/tex].
Tale funzione è definita ed olomorfa in [tex]$C\setminus \{ 0\}$[/tex].
Il numeratore [tex]$1-e^{\imath z}$[/tex] ha uno zero d'ordine [tex]$1$[/tex] in [tex]$z=0$[/tex], mentre il denominatore [tex]$z^2$[/tex] ha in [tex]$z=0$[/tex] uno zero d'ordine [tex]$2$[/tex]: perciò [tex]$f(z)$[/tex] ha in [tex]$z=0$[/tex] un polo d'ordine [tex]$1$[/tex].

Ora noi vogliamo calcolare l'integrale [tex]\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x[/tex]: si vede facilmente che:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x =\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x$[/tex]

(perchè l'integrando è pari) e perciò:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x =\frac{1}{2}\ \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^R \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x$[/tex]

(N.B.: gli integrali sono intesi nel senso del valore principale, giacché ci sono problemi di convergenza in [tex]$0$[/tex]); per fissato [tex]$R>0$[/tex] l'integrale [tex]\int_{-R}^R \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x[/tex] coincide con la parte reale dell'integrale \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z, in cui [tex]$s(R)$[/tex] è il segmento del piano complesso d'estremi [tex]$\pm R$[/tex] (vedi figura),
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
text([1.7,0], "R",below); text([-1.7,0], "-R",below);
stroke="red"; line([-1.7,0],[1.7,0]); dot([1.7,0]); dot([-1.7,0]);[/asvg]
quindi:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x = \frac{1}{2}\lim_{R\to +\infty} \text{Re} \left( \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z\right) =\frac{1}{2}\text{Re} \left( \lim_{R\to +\infty} \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z\right)$[/tex].

Conseguentemente il nostro problema si sposta sul determinare [tex]\lim_{R\to +\infty} \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z[/tex].
Ma a questo stadio non possiamo applicare i teoremi dei residui per calcolare tale integrale complesso, perchè [tex]$s(R)$[/tex] non è una curva chiusa; quindi sembra che la cosa migliore da fare, se vogliamo applicare i teoremi dei residui, sia usare [tex]$s(R)$[/tex] come parte di una curva chiusa.
Pensiamo allora di congiungere gli estremi di [tex]$s(R)$[/tex] con una semicirconferenza [tex]$C(R)$[/tex] di centro [tex]$0$[/tex] e raggio [tex]$R$[/tex] per ottenere una curva chiusa [tex]$\Gamma (R)=s(R)\cup C(R)$[/tex]... Però di tali semicirconferenze ce ne sono due, una nel semipiano [tex]$\text{Im} (z)\geq 0$[/tex] e l'altra nel semipiano [tex]$\text{Im} (z)\leq 0$[/tex] (vedi figura). Quindi quale scegliere?
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
text([1.7,0], "R",below); text([-1.7,0], "-R",below);
stroke="red"; line([-1.7,0],[1.7,0]); dot([1.7,0]); dot([-1.7,0]);
stroke="purple"; arc([-1.7,0],[1.7,0],1.7);
stroke="dodgerblue"; arc([1.7,0],[-1.7,0],1.7);[/asvg]
Per capire quale scegliere dobbiamo ragionare come segue.
Innanzitutto notiamo che l'integrale [tex]\int_{Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z[/tex] assume per ogni [tex]$R>0$[/tex] lo stesso valore: infatti se [tex]$R^\prime>R$[/tex] allora nella semicorona circolare che ha per bordi [tex]$C(R), C(R^\prime)$[/tex] non cadono singolarità, quindi [tex]\int_{Gamma (R^\prime)} f(z)\ \text{d} z=\int_{Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z[/tex]; chiamato $I$ il valore costante di [tex]\int_{Gamma (R)} f(z)\ \text{d} z[/tex], si ha:

[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z +\lim_{R\to +\infty} \int_{C(R)} f(z)\ \text{d} z =\lim_{R\to +\infty} \int_{\Gamma(R)} f(z)\ \text{d} z =I$[/tex],

quindi:

[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z =I-\lim_{R\to +\infty} \int_{C(R)} f(z)\ \text{d} z$[/tex].

Ne viene che la posizione delle semicirconferenze deve essere scelta in modo tale che sia facilmente calcolabile il [tex]\lim_{R\to +\infty} \int_{C(R)} f(z)\ \text{d} z[/tex]; anzi, visto che quest'ultimo limite si calcola con il primo lemma di Jordan, è chiaro che, per determinare la posizione delle semicirconferenze bisogna fare in modo che siano verificate le ipotesi del lemma. In particolare, dobbiamo scegliere il semipiano [tex]$\Omega$[/tex] in modo che esista finito il:

[tex]$\lim_{|z|\to +\infty , z\in \Omega} z f(z)$[/tex]

e che tale limite sia uniforme rispetto all'argomento di [tex]$z$[/tex].
Ora, se prendiamo [tex]$\Omega =\{ \text{Im} (z)\leq 0\}$[/tex] è evidente che quel limite lì non può esistere finito: infatti preso ad esempio [tex]$z=\imath y$[/tex] con [tex]$y\leq 0$[/tex], si ha [tex]$\imath y\in \Omega$[/tex] e però:

[tex]$\lim_{y\to -\infty} \imath y\ \frac{1-e^{\imath (\imath y)}}{y^2} =\imath \lim_{y\to -\infty} \frac{1-e^{-y}}{y}$[/tex]

e si vede che il limite all'ultimo membro dà come risultato [tex]$\infty$[/tex].
Quindi dobbiamo prendere necessariamente [tex]$\Omega =\{ \text{Im} (z)\geq 0\}$[/tex]. Fatta tale scelta, cerchiamo di applicare il lemma di Jordan: innanzitutto, prendendo [tex]$z=\imath y$[/tex] con [tex]$y\geq0$[/tex] ci facciamo un'idea del fatto che:

(*) [tex]$\lim_{|z|\to +\infty ,\ z\in \Omega} z f(z)=0$[/tex];

per dimostrare questo fatto in generale, maggioriamo:

[tex]$\left| z f(z)\right| =\frac{|1-e^{\imath z}|}{|z|} \leq \frac{|1+e^{-\text{Im} (z)}| + 1}{|z|} \leq \frac{3}{|z|}$[/tex]

e notiamo che [tex]\lim_{|z|\to +\infty} \frac{3}{|z|}=0[/tex]: ne consegue che vale (*) uniformemente rispetto all'argomento (poichè la maggiorazione che abbiamo usato è di fatto indipendente dall'argomento). Ne consegue che Jordan consente di affermare che:

[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{C(R)} f(z)\ \text{d} z =\imath \pi \lim_{|z|\to +\infty ,\ z\in \Omega} z f(z) =0$[/tex],

e quindi:

[tex]$\lim_{R\to +\infty} \int_{s(R)} f(z)\ \text{d} z =I$[/tex].

Tornando al problema iniziale, abbiamo scoperto che:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x =\frac{1}{2} \text{Re} (I)$[/tex],

ove [tex]$I$[/tex] è l'integrale di [tex]$f(z)$[/tex] calcolato lungo una qualsiasi semicirconferenza [tex]$\Gamma (R)$[/tex].

A questo punto applichiamo il teorema dei residui. Siccome la singolarità sta sulla frontiera del circuito d'integrazione, risulta:

[tex]$I=\pi \imath\ \text{Res} (f(z);0)$[/tex]

(il residuo va contato per metà*); ma [tex]$z=0$[/tex] è un polo del primo ordine, quindi:

[tex]$\text{Res} (f(z);0) =\lim_{z\to 0} z f(z)=\lim_{z\to 0} \frac{1-e^{\imath z}}{z} =-\imath$[/tex]

(per il limite notevole dell'esponenziale), quindi [tex]$I=\pi$[/tex] e conseguentemente:

[tex]$\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos x}{x^2}\ \text{d} x =\frac{\pi}{2}$[/tex].


__________
* Questa è una conseguenza del secondo lemma di Jordan.

[mic_1]

Grazie gugo82!! Ora farò altre prove seguendo le tue indicazioni e nel caso ti ricontatto...