Lemma di Zorn e cardinalità confrontabili
Non sapevo se inserirlo in algebra o analisi, comunque:
Mi viene richiesto di dimostrare che dati due insiemi A e B si ha |A|=<|B| o viceversa usando il lemma di Zorn.
Io ho fatto così. Considero l’insieme S = {A , B} non vuoto e considero l’insieme delle applicazioni iniettive f tra due insiemi come relazione d’ordine
Allora si ha che le relazioni in (S, f) possono essere solo 4 ovvero A ; B ; A f B ; B f A se fosse una delle ultime due non ci sarebbe niente da dimostrare, ipotizziamo che sia A o B ma allora sono tutte catene superiormente limitate da cui per il lemma di Zorn c’è un maggiorante, ma dato che gli elementi sono solo due deve essere per forza A f B o viceversa.
Se invece A e B sono entrambi vuoti si ha banalmente A = B.
Solo che non mi convince, non mi sento abbastanza sicuro su queste sottigliezze e non so se ho capito queste cose ed ho fatto giusto o se non ho capito niente.
Mi viene richiesto di dimostrare che dati due insiemi A e B si ha |A|=<|B| o viceversa usando il lemma di Zorn.
Io ho fatto così. Considero l’insieme S = {A , B} non vuoto e considero l’insieme delle applicazioni iniettive f tra due insiemi come relazione d’ordine
Allora si ha che le relazioni in (S, f) possono essere solo 4 ovvero A ; B ; A f B ; B f A se fosse una delle ultime due non ci sarebbe niente da dimostrare, ipotizziamo che sia A o B ma allora sono tutte catene superiormente limitate da cui per il lemma di Zorn c’è un maggiorante, ma dato che gli elementi sono solo due deve essere per forza A f B o viceversa.
Se invece A e B sono entrambi vuoti si ha banalmente A = B.
Solo che non mi convince, non mi sento abbastanza sicuro su queste sottigliezze e non so se ho capito queste cose ed ho fatto giusto o se non ho capito niente.
Risposte
Io ho fatto così: [segue una frase incomprensibile copiata male, che probabilmente non hai capito]Nulla di quello che segue ha senso. Invece, quello che devi fare è questo.
Considera l'insieme delle funzioni iniettive \(I[A,B]=\{m : S\hookrightarrow B\mid S\subseteq A\}\). Ordina \(I[A,B]\) dicendo che \((m : S \hookrightarrow B)\le (n:T \hookrightarrow B)\) se esiste una funzione (necessariamente iniettiva) \(h : S\to T\) tale che \(n\circ h = m\). Usa il lemma di Zorn su questo preordine, mostrando che ogni catena ha un massimale. Allora c'è un elemento massimale \(f : \bar S \hookrightarrow B\) in \(I[A,B]\), e si danno due casi...
"megas_archon":Io ho fatto così: [segue una frase incomprensibile copiata male, che probabilmente non hai capito]Nulla di quello che segue ha senso. Invece, quello che devi fare è questo.
Considera l'insieme delle funzioni iniettive \(I[A,B]=\{m : S\hookrightarrow B\mid S\subseteq A\}\). Ordina \(I[A,B]\) dicendo che \((m : S \hookrightarrow B)\le (n:T \hookrightarrow B)\) se esiste una funzione (necessariamente iniettiva) \(h : S\to T\) tale che \(n\circ h = m\). Usa il lemma di Zorn su questo preordine, mostrando che ogni catena ha un massimale. Allora c'è un elemento massimale \(f : \bar S \hookrightarrow B\) in \(I[A,B]\), e si danno due casi...
Ti ringrazio per avermi risposto, premetto che queste cose mi mandano un pò a male, provo a completare dove mi hai indicato, sperando di non dire fesserie di nuovo.
Ogni catena è superiormente limitata poiché si può avere \(\displaystyle k \) biunivoca con \(\displaystyle (k : S' \rightarrow B \mid S\subseteq A) \) oppure \(\displaystyle (k' : A \hookrightarrow B) \) solo una delle due può verificarsi ma in entrambi i casi \(\displaystyle k \) o \(\displaystyle k' \) è superiore ad ogni alto elemento di \(\displaystyle I[A,B] \). Allora per Zorn c'è un massimale, se si ha \(\displaystyle k \) dico che \(\displaystyle k \) è massimale e che \(\displaystyle |A|\geq|B| \) se si ha \(\displaystyle k' \) viceversa.
In ogni caso le cardinalità sono confrontabili.
Una \(\kappa\)-catena in $I[A,B]$ è un diagramma da un ordinale \(\kappa\) verso $I[A,B]$ della forma \[\begin{CD}
S_0 @>>> S_1 @>>> S_2 @>>> \dots @>>> S_\lambda @>>> S_{\lambda+1} @>>> \dots \\
@Vk_0VV @Vk_1VV @Vk_2VV @. @VVk_\lambda V @VVk_{\lambda+1}V\\
B @= B @= B @= \dots @= B @= B @= \dots
\end{CD}\] per \(\lambda < \kappa\). Questa è evidentemente maggiorata da \(\bigcup_{i\in \kappa} S_i\). Allora per Zorn esiste un massimale in $I[A,B]$. Si danno due casi.
1. Il massimale è della forma \(K_\infty : A \hookrightarrow B\). Questo conclude che esiste una funzione iniettiva da $A$ verso $B$.
2. Il massimale è della forma \(K_\infty : S_\infty \hookrightarrow B\) con \(S_\infty\subsetneq A\). Un elemento \(b\in (B\setminus K_\infty(S_\infty))\) permetterebbe di definire una estensione iniettiva di \(K_\infty\) su \(S_\infty \cup \{a\}\), per \(a\notin S_\infty\), mandando \(a\mapsto b\), quindi \(K_\infty\) deve essere suriettiva. Allora \(K_\infty\) è biiettiva, ed esiste una funzione iniettiva \(B\xrightarrow{K_\infty^{-1}} S_\infty \hookrightarrow A\).
S_0 @>>> S_1 @>>> S_2 @>>> \dots @>>> S_\lambda @>>> S_{\lambda+1} @>>> \dots \\
@Vk_0VV @Vk_1VV @Vk_2VV @. @VVk_\lambda V @VVk_{\lambda+1}V\\
B @= B @= B @= \dots @= B @= B @= \dots
\end{CD}\] per \(\lambda < \kappa\). Questa è evidentemente maggiorata da \(\bigcup_{i\in \kappa} S_i\). Allora per Zorn esiste un massimale in $I[A,B]$. Si danno due casi.
1. Il massimale è della forma \(K_\infty : A \hookrightarrow B\). Questo conclude che esiste una funzione iniettiva da $A$ verso $B$.
2. Il massimale è della forma \(K_\infty : S_\infty \hookrightarrow B\) con \(S_\infty\subsetneq A\). Un elemento \(b\in (B\setminus K_\infty(S_\infty))\) permetterebbe di definire una estensione iniettiva di \(K_\infty\) su \(S_\infty \cup \{a\}\), per \(a\notin S_\infty\), mandando \(a\mapsto b\), quindi \(K_\infty\) deve essere suriettiva. Allora \(K_\infty\) è biiettiva, ed esiste una funzione iniettiva \(B\xrightarrow{K_\infty^{-1}} S_\infty \hookrightarrow A\).
Ti ringrazio, devo dire che l’uso di questo linguaggio semplifica la comprensione anche se è molto ricco di arzigogoli, però sui libri non ho trovato mai rappresentazioni del genere.
P.S.
Ma il pedice infinito si usa sempre per indicare un massimale o è stato usato in questo caso solo per darne una definizion?
P.S.
Ma il pedice infinito si usa sempre per indicare un massimale o è stato usato in questo caso solo per darne una definizion?
"Cosimo.":Perché i libri sono scritti anche per chi, sebbene studi matematica, poi va a fare l'analista del prezzo del petrolio nei gasdotti del Ruanda. Dio, quanto odio il fatto che hanno un titolo di studio omonimo al mio.
Sui libri non ho trovato mai rappresentazioni del genere.
Ma il pedice infinito si usa sempre per indicare un massimale o è stato usato in questo caso solo per darne una definizion?E' semplicemente un nome senza significato per indicare (una componente de) il massimale.
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