Lemma di urysohn
Ciao, sto provando a dimostrare il lemma di urysohn per spazi metrici:
X spazio metrico. A,B chiusi disgiunti di X. Allora esiste $f:X->[0,1]$ continua che vale 1 su A e 0 su B.
L'idea che ho capito dal mio prof è far vedere che d(A,B)>0 e quindi definire $f(x)=1-2*(d(x,A))/(d(A,B))$ se $d(x,A)<=(d(A,B))/2$ e $f(x)=0$ se $d(x,A)>=(d(A,B))/2$.
Il punto però è che non credo sia vero in generale che d(A,B)>0. Per esempio in $R^2$ si potrebbero prendere $A={(x,y)|y=0}$ e $B={(x,y)|y=1/x^2}$ che, se ragiono bene, hanno d(A,B)=0.
Siete d'accordo? Avete un'altra idea per la dimostrazione?
X spazio metrico. A,B chiusi disgiunti di X. Allora esiste $f:X->[0,1]$ continua che vale 1 su A e 0 su B.
L'idea che ho capito dal mio prof è far vedere che d(A,B)>0 e quindi definire $f(x)=1-2*(d(x,A))/(d(A,B))$ se $d(x,A)<=(d(A,B))/2$ e $f(x)=0$ se $d(x,A)>=(d(A,B))/2$.
Il punto però è che non credo sia vero in generale che d(A,B)>0. Per esempio in $R^2$ si potrebbero prendere $A={(x,y)|y=0}$ e $B={(x,y)|y=1/x^2}$ che, se ragiono bene, hanno d(A,B)=0.
Siete d'accordo? Avete un'altra idea per la dimostrazione?
Risposte
Forse ho trovato: si può definire $f(x)=(d(x,A))/(d(x,A)+d(x,B))$. In questo modo sono certo che il denominatore non è mai 0 perchè, visto che A,B sono chiusi, $d(x,A)=d(x,B)=0 \hArr x\in A , x\in B$ ma A,B sono disgiunti.
Dite che funzione?
Dite che funzione?
Sisi, funzione. 
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