Lemma di Poincarè (forme differenziali)

[asabasa]

Supponiamo che la forma differenziale $omega= X_i dx_i$ abbia coefficienti di classe $C^1(A)$ con $A$ aperto di $R^n$ convesso rispetto ad un punto $barx$.
Se $omega$ è chiusa allora $omega$ è esatta.

DIm: Consideriamo il segmento di estremi $barx$ e $x$ con $x in A$.

Definiamo la funzione :

$f(x)=int_0^1 [sum_{i=1}^n X_i(barx+t(x-barx))(x_i-barx_i)]dt$

Posto questo si applica il teorema di derivazione sotto al segno di integrale
(ossia $F'(x)=d/{dx}(int_a^b f(t,x)dt)=int_a^b f_x(t,x))$)

$f_{x_j}(x)=int_0^1 [tsum_{i=1}^n {partialX_j}/{partialx_i}(barx+t(x-barx))(x_i-barx_i)+X_j(barx+t(x-barx)]dt$


Poi per le regole di derivazione delle funzioni composte ($F'(t)=$)
e del prodotto e infine per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

$int_0^1 [d/{dt} (tX_j(barx+t(x-barx)))]dt =X_j(x)$

L'ultimo passaggio dove applica teorema fondamentale del calcolo integrale mi è chiaro, sarebbe:

$[(tX_j(barx+t(x-barx)))]_{t=0}^{t=1}=X_j(x)$

Ma non mi è chiara l'applicazione del teorema di derivazione sotto al segno di integrale e delle regole di derivazione delle funzioni composte e del prodotto, qualcuno mi aiuta a capire?

[asabasa]

Ho la mia teoria, questo risultato

"asabasa":
$f_{x_j}(x)=int_0^1 [tsum_{i=1}^n {partialX_j}/{partialx_i}(barx+t(x-barx))(x_i-barx_i)+X_j(barx+t(x-barx)]dt$

è già frutto delle regole di derivazione delle funzioni composte del prodotto, che io applico semplicemente per calcolare quella derivata e il teorema di derivazione del calcolo integrale mi permette di farlo perchè i coefficienti della forma differenziale sono per ipotesi di classe $C^1(A)$

[asabasa]

Up!!

[asabasa]

Dai dai che oggi qualcuno mi risponde

[cmarghec-votailprof]

"asabasa":Supponiamo che la forma differenziale $omega= X_i dx_i$ abbia coefficienti di classe $C^1(A)$ con $A$ aperto di $R^n$ convesso rispetto ad un punto $barx$.
Se $omega$ è chiusa allora $omega$ è esatta.

DIm: Consideriamo il segmento di estremi $barx$ e $x$ con $x in A$.

Definiamo la funzione :

$f(x)=int_0^1 [sum_{i=1}^n X_i(barx+t(x-barx))(x_i-barx_i)]dt$

Posto questo si applica il teorema di derivazione sotto al segno di integrale
(ossia $F'(x)=d/{dx}(int_a^b f(t,x)dt)=int_a^b f_x(t,x))$)

$f_{x_j}(x)=int_0^1 [tsum_{i=1}^n {partialX_j}/{partialx_i}(barx+t(x-barx))(x_i-barx_i)+X_j(barx+t(x-barx)]dt$


Poi per le regole di derivazione delle funzioni composte ($F'(t)=$)
e del prodotto e infine per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha:

$int_0^1 [d/{dt} (tX_j(barx+t(x-barx)))]dt =X_j(x)$

L'ultimo passaggio dove applica teorema fondamentale del calcolo integrale mi è chiaro, sarebbe:

$[(tX_j(barx+t(x-barx)))]_{t=0}^{t=1}=X_j(x)$

Ma non mi è chiara l'applicazione del teorema di derivazione sotto al segno di integrale e delle regole di derivazione delle funzioni composte e del prodotto, qualcuno mi aiuta a capire?

Vorrei saperlo anche ioooooo rispondeteeee!!!

[quasiperiodic]

Su un aperto convesso $A\subseteq\mathbb R^n$ sia definita una $1$-forma differenziale $\omega$ data da $$\omega=X_i\mathrm dx_i.$$
Sopra, come ovunque nel seguito, è attiva la convenzione di Einstein di sottintendere la sommatoria sugli indici ripetuti.

L'ipotesi che la $1$-forma $omega$ sia chiusa, ossia $d\omega=0$, significa esplicitamente che
$$\frac{\partial X_i}{\partial x_j}=\frac{\partial X_j}{\partial x_i}.\tag{1}$$
L'idea alla base della dimostrazione è quella costruire una primitiva della $1$-forma chiusa $\omega$, ossia una funzione $f$ sull'aperto convesso $A$, tale che $df=\omega$, od esplicitamente:
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=X_i.\tag{2}$$
Per via della convessità di $A$, del teorema fondamentale del calcolo integrale ($\star$), e della regola di derivazione della funzione composta, se tale primitiva $f$ esistesse, allora sarebbe necessariamente data da
$$f(x)\underset{(\star)}{=}f(\bar x)+\int_0^1\frac{d}{dt}f(\bar x+t(x-\bar x))dt\underset{(2)}{=}f(\bar x)+\int_0^1X_j(\bar x +t(x-\bar x))(x_j-\bar x_j)\mathrm dt\tag{3}.$$
Per provare che la (2) è soddisfatta dalla $f$, deriviamo la (3) ottenendo
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=\int_0^1\underbrace{\left[t\frac{\partial X_j}{\partial x_i}(\bar x+t(x-\bar x))(x_j-\bar x_j)+X_i(\bar x+t(x-\bar x))\right]}_{\large{(\ast)}}\mathrm dt,\tag{4}$$
dove abbiamo impiegato le regole di derivazione sotto il segno di integrale, di derivazione del prodotto e di derivazione della funzione composta.

A questo punto osserviamo che l'integrando che compare in questo integrale ammette l'espressione altenativa
$$(\ast) = t\frac{\partial X_i}{\partial x_j}(\bar x+t(x-\bar x))(x_j-\bar x_j)+X_i(\bar x+t(x-\bar x)) = \frac{\partial}{\partial t}\left(tX_i(\bar x+t(x-\bar x))\right),\tag{5}$$
dove abbiamo adoperato la (1), e le regole di derivazione del prodotto e della funzione composta.

Inserendo la (5) nella (4), e ricorrendo al teorema fondamentale del calcolo integrale, concludiamo che
$$\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=[tX_i(\bar x+t(x-\bar x))]_{t=0}^{t=1}=X_i(x),$$
ossia $f$ soddisfacendo la (2) è la cercata primitiva di $\omega$.

Spero di esservi stato almeno un po' utile.

[cmarghec-votailprof]

Grazie infinitamente x la chiarezza. Non ho capito solo questo punto :
Per via della convessità di $A$, e del teorema fondamentale del calcolo integrale, se tale primitiva $f$ esistesse, allora sarebbe necessariamente data, a meno di una costante addditiva, da
$$f(x)=\int_0^1X_j(\bar x +t(x-\bar x))(x_j-\bar x_j)\mathrm dt\tag{3}.$$

[quasiperiodic]

Ho editato la domanda in modo da rendere più evidente il passaggio su cui mi interroghi, comunque riporto, di seguito, qual'è il punto.

Fissiamo un arbitrario $\bar x\in A$, ed ammettiamo che $f$ sia la cercata primitiva, ossia soddisfi la (2), che richiamo per comodità: $$\frac{\partial f}{\partial x_j}=X_j.\tag{(2)}$$ Allora, per via della convessità di $A$, e del Teorema fondamentale del calcolo differenziale $(\star$), abbiamo:
$$f(x)=f(\bar x)+[f(\bar x+t(x-\bar x))]_{t=0}^{t=1}\underset{(\star)}{=}f(\bar x) + \int_0^1\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}f(\bar x+t(x-\bar x))\mathrm d t.$$
Applicando ora la regola di derivazione della funzione composta, e tenuto conto dell'ipotesi che $f$ soddisfi la (2), arriviamo a:
$$f(x)=f(\bar x)+\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x_j}(\bar x +t(x-\bar x))(x_j-\bar x_j)\mathrm d t\underset{(2)}{=}f(\bar x)+\int_0^1X_j(\bar x +t(x-\bar x))(x_j-\bar x_j)\mathrm d t.$$

Se non è chiaro non esitare a farmelo sapere.