Lemma di Gronwall

[poncelet]

Probabilmente è una banalità, ma evidentemente mi perdo in un bicchiere d'acqua. Allora enuncio il

Lemma di Gronwall:

Siano \(I \subset \mathbb{R}\) un intervallo e \(\tau \in I\). Siano inoltre \(u, v:I \to \mathbb{R}\) due funzioni continue in \(I\), non negative e \( c \in \mathbb{R}_{+}\). Se:

\(v(t) \leq c+|\int_{\tau}^{t}u(s)v(s)ds|, \qquad \forall t \in I\)

allora

\(v(t) \leq ce^{|\int_{\tau}^{t}u(s)ds|}, \qquad \forall t \in I\)


Dimostrazione

Supponiamo \(t \geq \tau\); poniamo \(w(t):=c+\int_{\tau}^{t}u(s)v(s)ds\); allora \(w'(t)=u(t)v(t) \leq u(t)w(t)\) per ipotesi.

Di conseguenza \(\frac{d}{dt}[w(t)e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds}]=e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds}[w'(t)-u(t)w(t)] \leq 0\)

Fino a qui tutto ok, poi il Pagani Salsa dice "e perciò \(e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds}w(t) \leq w(\tau)\). Perché?

[Paolo902]

La funzione $t \mapsto w(t)exp(-int_{tau}^{t}u(s)ds)$ ha derivata negativa per $t \ge \tau$, quindi è decrescente. Ne consegue quella disuguaglianza.

Ti è chiaro?

[Gi81]

Abbiamo \(\Large{\frac{d}{dt}\left[w(t)e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds}\right] \leq 0}\), dunque la funzione \(\Large{g(t):= w(t) e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds}}\) è decrescente.

Quindi per \(t \geq \tau\) si ha \(g(t) \leq g(\tau)\), ovvero \( \Large{ w(t) e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds} \leq w(\tau) e^{-\int_{\tau}^{\tau}u(s)ds}}\)

Ma ovviamente \( \int_{\tau}^{\tau} u(s) ds =0\), da cui il risultato scritto.


edit: pardon, anticipato

[poncelet]

Nel senso che se chiamiamo \(\Phi(t)=w(t)e^{-\int_{\tau}^{t}u(s)ds}\) abbiamo che \(\Phi(\tau)=w(\tau)\) ed essendo decrescente per \(t \geq \tau\) avremo sempre \(\Phi(t) \leq w(\tau)\)?