Lemma di Darboux

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano per la dimostrazione del seguente teorema.

Sia $f:Omega rarr CC$ una funzione continua e $gamma$ un cammino congiungente $z_0,z_1 in Omega$, cioè una curva regolare di sostegno contenuto in $Omega$ e di equazione parametrica $z(t):[a,b]rarrOmega$. Allora:

$|int_(z_0)^(z_1)f(z)dt|<=|gamma|max_(text(sostegno )gamma)|f(z)| $

Dimostrazione

$|int_(z_0)^(z_1)f(z)dt|=|int_(a)^(b)f(z(t))z'(t)dt|<=int_(a)^(b)|f(z(t))z'(t)|dt$

da questo punto in poi non ho capito come si continua.

[Seneca1]

$|int_(z_0)^(z_1)f(z)dt|=|int_(a)^(b)f(z(t))z'(t)dt|<=int_(a)^(b)|f(z(t))z'(t)|dt = int_a^b |f(z(t))| |z'(t)| dt $
\[ \le \int_a^b |z'(t)| \; \max_{t \in [a,b]} |f(z(t))| dt \]
il massimo è una costante e lo puoi portare fuori dall'integrale. Rimane $\int_a^b |z'(t)| dt$ che, per definizione, è la lunghezza di $\gamma$.

[sirio25788-votailprof]

Perfetto. Grazie