Lemma di abel (teoria)
ciao a tutti, nella dimostrazioe del lemma di abel la prima cosa che viene detta è che se la serie di potenze converge per $ bar(x) $ allora
$ lim_(n -> +oo) a_n (bar(x) - x^0)^n = 0 $
Perchè è così? da che teorema deriva?
$ lim_(n -> +oo) a_n (bar(x) - x^0)^n = 0 $
Perchè è così? da che teorema deriva?
Risposte
Criterio necessario di convergenza.
Proposizione: Sia $ sum a_k $ convergente, con $ a_k >= 0 $ e $ a_k $ monotona decrescente.
Allora si ha necessariamente che $ na_n to 0 $
è questo? nel mio cosa non manca la n che moltiplica $ a_n $ ?
Allora si ha necessariamente che $ na_n to 0 $
è questo? nel mio cosa non manca la n che moltiplica $ a_n $ ?
No. Sia $ sum a_k $ convergente. Allora $a_n to 0$
ancora una domandina sulle serie: in tanti teoremi si dice che la serie converge, in altri che la serie converge uniformemente. che differenza c'è tra "converge" e "converge uniformemente"? mi scuso per le domande sciocche...
Prendi una serie di potenze centrata in [tex]x_{0}[/tex]: [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} (x-x_{0})^n$[/tex].
Supponiamo che la serie converga per [tex]x=\overline{x}[/tex]: questo significa che la serie numerica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} (\overline{x}-x_{0})^n$[/tex] è convergente.
Per un celeberrimo fatto basilare sulle serie, la convergenza implica che il termine generale sia infinitesimo:
[tex]a_{n} (\overline{x}-x_{0})^n \to 0$[/tex] per [tex]n \to + \infty[/tex].
Ok?
P.S. Per convergenza-convergenza uniforme ti rimando al tuo libro. Hai dato un'occhiata al paragrafo relativo alle serie di funzioni? Quelli di cui parli sono concetti davvero importanti che è bene comprendere a fondo.
Supponiamo che la serie converga per [tex]x=\overline{x}[/tex]: questo significa che la serie numerica [tex]$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{n} (\overline{x}-x_{0})^n$[/tex] è convergente.
Per un celeberrimo fatto basilare sulle serie, la convergenza implica che il termine generale sia infinitesimo:
[tex]a_{n} (\overline{x}-x_{0})^n \to 0$[/tex] per [tex]n \to + \infty[/tex].
Ok?
P.S. Per convergenza-convergenza uniforme ti rimando al tuo libro. Hai dato un'occhiata al paragrafo relativo alle serie di funzioni? Quelli di cui parli sono concetti davvero importanti che è bene comprendere a fondo.
io so che una serie converge o uniformemente o puntualmente. se dico che converge e non specifico come si sottintende puntualmente? Paolo90 come si chiama la figura che hai come avatar?
"Mith89":
io so che una serie converge o uniformemente o puntualmente. se dico che converge e non specifico come si sottintende puntualmente?
Non saprei. Io di solito specifico il tipo di convergenza. Tieni conto che non ci sono solo quelli: convergenza puntuale, convergenza assoluta, totale, in norma, in media quadratica, etc.
"Mith89":
Paolo90 come si chiama la figura che hai come avatar?
E' la bottiglia di Klein, o meglio una sua immersione in [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
prendiamo per esempio il teorema di abel:
sia $ sum an(x-x^0)^n $ in $ [x^0-R,x^0+R] $. Se la serie converge per $ x = x^0 + R $, allora converge uniformemente in $ [x^0, x^0+R] $
che differenza c'è tra le due convergenze (a parte l'insieme di convergenza)?
sia $ sum an(x-x^0)^n $ in $ [x^0-R,x^0+R] $. Se la serie converge per $ x = x^0 + R $, allora converge uniformemente in $ [x^0, x^0+R] $
che differenza c'è tra le due convergenze (a parte l'insieme di convergenza)?
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