Lemma del polo semplice
sia f una funzione analitica in un intorno forato dell'origine ed abbia in tale intorno un polo semplice allora:
\(\displaystyle lim_{r\to 0}\int_{\gamma_r}f(z)dz = i\pi res(f(z),0) \), prendiamo come esempio l'integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx = lim_{r\to 0}lim_{R\to \infty} \int_{r}^{R}\frac{sinx}{x}dx\), ora la prima cosa che non capisco è perchè nello svolgimento il mio libro prende in esame \(\displaystyle f(z) = \frac{e^{iz}}{z} \), tale funzione non è uguale a \(\displaystyle f(z) = \e^{-y}cosx+isinx \)? Che è diversa da \(\displaystyle \frac{sinz}{z}\) non riesco a capire il nesso inoltre il circuito preso in considerazione è\(\displaystyle \gamma = \beta_{rR} \) tale circuito è ottenuto concatenando la circonferenza di raggio r con il segmento [-R,-r] e la circonferenza di raggio R con con [r,R] dell'asse delle x.
\(\displaystyle lim_{r\to 0}\int_{\gamma_r}f(z)dz = i\pi res(f(z),0) \), prendiamo come esempio l'integrale:
\(\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx = lim_{r\to 0}lim_{R\to \infty} \int_{r}^{R}\frac{sinx}{x}dx\), ora la prima cosa che non capisco è perchè nello svolgimento il mio libro prende in esame \(\displaystyle f(z) = \frac{e^{iz}}{z} \), tale funzione non è uguale a \(\displaystyle f(z) = \e^{-y}cosx+isinx \)? Che è diversa da \(\displaystyle \frac{sinz}{z}\) non riesco a capire il nesso inoltre il circuito preso in considerazione è\(\displaystyle \gamma = \beta_{rR} \) tale circuito è ottenuto concatenando la circonferenza di raggio r con il segmento [-R,-r] e la circonferenza di raggio R con con [r,R] dell'asse delle x.
Risposte
Questo è il "lemma del mezzo residuo". Usarlo per calcolare l'integrale di \(\sin x/ x\) è una cosa assolutamente standard, hai provato a vederla su un altro libro oltre al tuo? C'è ovunque: ad esempio la trovi su Analisi 3 di Gilardi o su Complex Analysis di Lang, ma questi sono solo gli esempi che vengono in mente a me.
Comunque si prende \(e^{iz}/z\) perché, per \(z=x\in\mathbb{R}\), la parte immaginaria di tale funzione è \(\sin x / x\). Quindi, calcolando l'integrale di \(e^{iz}/z\) lungo la retta reale e poi prendendo la parte immaginaria otterrai l'integrale che ti serve, e nel frattempo hai fatto sparire quel seno che è fastidioso (le funzioni esponenziali sono molto più comode da manipolare delle funzioni trigonometriche).
Comunque si prende \(e^{iz}/z\) perché, per \(z=x\in\mathbb{R}\), la parte immaginaria di tale funzione è \(\sin x / x\). Quindi, calcolando l'integrale di \(e^{iz}/z\) lungo la retta reale e poi prendendo la parte immaginaria otterrai l'integrale che ti serve, e nel frattempo hai fatto sparire quel seno che è fastidioso (le funzioni esponenziali sono molto più comode da manipolare delle funzioni trigonometriche).
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