Legame tra zeri e poli

[Studente ingegneria]

Salve a tutti!
Ho un dubbio di analisi 3 e lunedì ho l'esame.
Esiste un legame tra zeri e poli di una funzione olomorfa?
I poli sono punti singolari con delle caratteristiche ben precise che ricavo dallo sviluppo in serie di Laurent, mentre come zero considero quel punto in cui la funzione si annulla come se parlassi di polinomi. E poi? Non riesco a scorgere un legame e sul libro non lo trovo! Grazie mille!!!!

[gugo82]

"Studente ingegneria":Salve a tutti!
Ho un dubbio di analisi 3 e lunedì ho l'esame.
Esiste un legame tra zeri e poli di una funzione olomorfa?
I poli sono punti singolari con delle caratteristiche ben precise che ricavo dallo sviluppo in serie di Laurent, mentre come zero considero quel punto in cui la funzione si annulla come se parlassi di polinomi. E poi? Non riesco a scorgere un legame e sul libro non lo trovo! Grazie mille!!!!

Il legame c'è, ma non tra zeri e poli di una stessa funzione olomorfa...

Esiste un legame forte tra gli zeri isolati di una funzione $f$ ed i poli della funzione $1/f$: infatti i poli di $1/f$ si trovano in corrispondenza degli zeri isolati di $f$ e viceversa; in altre parole $z_0 " è uno zero isolato di " f quad hArr quad z_0 " è un polo di " 1/f$. Inoltre l'ordine del polo $z_0$ per $1/f$ è uguale all'ordine di $z_0$ come zero di $f$.

Ad esempio, la funzione $(z-i)*(z^2+1)$ ha uno zero d'ordine $1$ in $-i$ ed uno zero d'ordine $2$ in $i$ ed entrambi tali zeri sono isolati; per quanto detto prima, la funzione razionale $1/((z-i)*(z^2+1))$ ha due poli in $i,-i$, rispettivamente d'ordine $2$ ed $1$.
Oppure la funzione $z^3$ ha in $0$ uno zero d'ordine $3$ e perciò la funzione $1/z^3$ ha in $0$ un polo d'ordine $3$.

Viceversa, se nella proposizione precedente si scambiano i ruoli di $f$ ed $1/f$ si trova facilmente che $z_0 " è un polo d'ordine " k " per " f quad hArr quad z_0 " è uno zero isolato d'ordine " k " di " 1/f$, cosicchè c'è anche un legame tra poli di $f$ e zeri di $1/f$.

Queste relazioni valgono pure se $z_0=oo$. Ad esempio $z^3$ ha un polo d'ordine $3$ in $oo$ e quindi $1/z^3$ ha all'infinito uno zero d'ordine $3$.
Ancora, le relazioni valgono pure per funzioni non polinomiali. Ad esempio $sinz$ ha uno zero in $0$ d'ordine $1$ e perciò $1/(sinz)$ ha in $0$ un polo del primo ordine.

[Studente ingegneria]

Era quello che avevo intuito ripassando il teorema sui poli come singolarità isolata, in quanto quando dimostro che se il modulo della funzione diverge, essendo z_0 una singolarità isolata, allora z_0 è un polo vado per l'appunto a considerare la funzione 1/f, considerandolo come zero e proseguo con la definizione.
E' stato chiarissimo. Grazie![/chesspos]