Legame tra integrali di derivate dopo cambio di variabili
$U$ è un aperto di $\mathbb{R}^n$
Sia $f:U->RR$
Sia $\Phi:RR^n->RR^n$ un diffeomorfismo di classe $C^1$
e $\Psi$ il suo inverso
$g(y):=f(\Psi(y))$
chiamiamo per rendere più comprensibile la formula: $x$ la variabile nel dominio di $f$ e $y$ la variabile nel dominio di $g$
risulta $x=\Psi(y)$
$y=\Phi(x)$
so che $D_y^\alphag=D_xf(\Psi(y))*D_y^\alpha\Psi(y)$
Dato che $\Psi$ è $C^1$ le sua derivate esistono e sono finite, hanno massimo e minimo, posso allora scivere
$m*\sum_{|\beta|=1}D_x^\betaf(\Psi(y))<=D_y^\alphag<=M*\sum_{|\beta|=1}D_x^\betaf(\Psi(y))$
Passando agli integrali e cambiando le variabili
$\int_B |D_y^\alphag|^p dy <= C \int_{\Psi(B)} |\sum_{|\beta|=1}D_x^\betaf(x)|^p dx$ dove $C$ adesso racchiude la costante $M$ e il massimo del determinante di $\Phi$ sul dominio, che di nuovo so esistere perchè $\Phi$ è $C^1$
ora, mi servirebbe portare fuori quella sommatoria vorrei insomma avere (dato che il mio libro mi pare assumere sia così)
$\int_B |D_y^\alphag|^p dy<=C \sum_{|\beta|=1} \int_{\Psi(B)} |D_x^\betaf(x)|^p dx
aiuto! è tutto oggi che ci penso...
non capisco come fare...
P.S. di partenza vorrei dimostrare $||g||_{W^{1,p}(B)}<=||f||_{W^{1,p}(\Psi(B))}$
Sia $f:U->RR$
Sia $\Phi:RR^n->RR^n$ un diffeomorfismo di classe $C^1$
e $\Psi$ il suo inverso
$g(y):=f(\Psi(y))$
chiamiamo per rendere più comprensibile la formula: $x$ la variabile nel dominio di $f$ e $y$ la variabile nel dominio di $g$
risulta $x=\Psi(y)$
$y=\Phi(x)$
so che $D_y^\alphag=D_xf(\Psi(y))*D_y^\alpha\Psi(y)$
Dato che $\Psi$ è $C^1$ le sua derivate esistono e sono finite, hanno massimo e minimo, posso allora scivere
$m*\sum_{|\beta|=1}D_x^\betaf(\Psi(y))<=D_y^\alphag<=M*\sum_{|\beta|=1}D_x^\betaf(\Psi(y))$
Passando agli integrali e cambiando le variabili
$\int_B |D_y^\alphag|^p dy <= C \int_{\Psi(B)} |\sum_{|\beta|=1}D_x^\betaf(x)|^p dx$ dove $C$ adesso racchiude la costante $M$ e il massimo del determinante di $\Phi$ sul dominio, che di nuovo so esistere perchè $\Phi$ è $C^1$
ora, mi servirebbe portare fuori quella sommatoria vorrei insomma avere (dato che il mio libro mi pare assumere sia così)
$\int_B |D_y^\alphag|^p dy<=C \sum_{|\beta|=1} \int_{\Psi(B)} |D_x^\betaf(x)|^p dx
aiuto! è tutto oggi che ci penso...
non capisco come fare...P.S. di partenza vorrei dimostrare $||g||_{W^{1,p}(B)}<=||f||_{W^{1,p}(\Psi(B))}$
Risposte
Convessità della potenza, direi...
Se hai $n>=2$ numeri $t_1,\ldots ,t_n >=0$, trovi $(\sum_(i=1)^n t_i)^p<= n^(p-1) \sum_(i=1)^n t_i^p$.
Infatti, visto che $t^p$ è convessa in $[0,+oo[$ per $p>=1$ (strettamente per $p>1$)*, hai:
$(\sum_(i=1)^n 1/n t_i)^p=(1/nt_1 +(n-1)/n \sum_(i=2)^n 1/(n-1)t_2)^p<=" convessità"$
$\quad <= 1/nt_1^p+(n-1)/n (\sum_(i=2)^n 1/(n-1) t_i)^p= 1/nt_1^p+(n-1)/n (1/(n-1) t_2 +(n-2)/(n-1)\sum_(i=3)^n 1/(n-2) t_i)^p<= " convessità"$
$\quad <= 1/nt_1^p +(n-1)/n [1/(n-1) t_2^p +(n-2)/(n-1) (\sum_(i=3)^n 1/(n-2) t_i)^p]= 1/n(t_1^p+t_2^p)+(n-2)/n(\sum_(i=3)^n 1/(n-2)t_i)^p <= " iterando l'applicazione della convessità" \ldots$
$\quad <= 1/n\sum_(i=1)^n t_i^p$
quindi:
$(\sum_(i=1)^n t_i)^p <=n^p/n \sum_(i=1)^n t_i^p=n^(p-1) \sum_(i=1)^n t_i^p$
come si voleva. Evidentemente nulla cambia se consideri $|t|^p$ così da avere una funzione convessa su tutto $RR$.
In particolare è:
$|\sum_(|beta|=1) D_x^beta f|^p<=n^(p-1) \sum_(|beta|=1) |D_x^beta f|^p$
visto che i multiindici $beta$ con $|beta|=1$ sono esattamente $n$ (se non sbaglio).
__________
* Ciò vuol dire che $(lambda t+(1-lambda) tau)^p <= lambda t^p +(1-lambda) tau^p$ per $t,tau >=0$ e $lambda \in [0,1]$ (e strattamente convessa significa che vale $<$ se $t!= tau$ e $lambda \in ]0,1[$); questo fatto si riconosce andando a calcolare esplicitamente la derivata seconda e notando che essa è $>0$.
Se hai $n>=2$ numeri $t_1,\ldots ,t_n >=0$, trovi $(\sum_(i=1)^n t_i)^p<= n^(p-1) \sum_(i=1)^n t_i^p$.
Infatti, visto che $t^p$ è convessa in $[0,+oo[$ per $p>=1$ (strettamente per $p>1$)*, hai:
$(\sum_(i=1)^n 1/n t_i)^p=(1/nt_1 +(n-1)/n \sum_(i=2)^n 1/(n-1)t_2)^p<=" convessità"$
$\quad <= 1/nt_1^p+(n-1)/n (\sum_(i=2)^n 1/(n-1) t_i)^p= 1/nt_1^p+(n-1)/n (1/(n-1) t_2 +(n-2)/(n-1)\sum_(i=3)^n 1/(n-2) t_i)^p<= " convessità"$
$\quad <= 1/nt_1^p +(n-1)/n [1/(n-1) t_2^p +(n-2)/(n-1) (\sum_(i=3)^n 1/(n-2) t_i)^p]= 1/n(t_1^p+t_2^p)+(n-2)/n(\sum_(i=3)^n 1/(n-2)t_i)^p <= " iterando l'applicazione della convessità" \ldots$
$\quad <= 1/n\sum_(i=1)^n t_i^p$
quindi:
$(\sum_(i=1)^n t_i)^p <=n^p/n \sum_(i=1)^n t_i^p=n^(p-1) \sum_(i=1)^n t_i^p$
come si voleva. Evidentemente nulla cambia se consideri $|t|^p$ così da avere una funzione convessa su tutto $RR$.
In particolare è:
$|\sum_(|beta|=1) D_x^beta f|^p<=n^(p-1) \sum_(|beta|=1) |D_x^beta f|^p$
visto che i multiindici $beta$ con $|beta|=1$ sono esattamente $n$ (se non sbaglio).
__________
* Ciò vuol dire che $(lambda t+(1-lambda) tau)^p <= lambda t^p +(1-lambda) tau^p$ per $t,tau >=0$ e $lambda \in [0,1]$ (e strattamente convessa significa che vale $<$ se $t!= tau$ e $lambda \in ]0,1[$); questo fatto si riconosce andando a calcolare esplicitamente la derivata seconda e notando che essa è $>0$.
molte grazie tutto chiaro!
mi hai tolto un peso, a questa convessità non ci pensavo proprio... ciao!
mi hai tolto un peso, a questa convessità non ci pensavo proprio... ciao!
"Fox":
molte grazie tutto chiaro!
Prego.
"Fox":
a questa convessità non ci pensavo proprio...
La convessità è una proprietà importantissima!
Lo sto imparando sulla mia pelle...
Per capire questo fatto, guardati un po' tutti i teoremi di minimo per funzionali s.c.i. (tipo quelli del Calcolo delle Variazioni): c'è convessità dappertutto.
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