Legame tra funzioni lineari e prodotti tra matrici

[curiosone1]

Ciao ragazzi, vi chiedo una delucidazione tra funzione lineare e prodotto tra matrici.

Una funzione f, definita su A sottoinsieme di R^n, con valori in R^m è una funzione lineare se per ogni (x,y) di A, vale:
(a) f(x+y) = f(x) + f(y)
(b) per ogni k appartenente a R, si ha: f(k*x) = k * f(x).

Adesso, nei miei appunti, ho che il prodotto tra matrici si fa per salvare il concetto di funzione lineare.Perché?
Ma scusate, qual è il legame tra due concetti? Proprio non riesco a spiegarmelo

[Antimius]

Il legame è che le matrici si usano per rappresentare le funzioni lineari. Ogni funzione $x \mapsto Ax$ è lineare e, viceversa, ogni funzione lineare si può rappresentare in quella forma (una volta fissata la base dello spazio vettoriale, che, nel caso di $\mathbb{R}^n$ si sottintende essere quella canonica delle direzioni degli assi).
Se già sai queste cose, allora ti dovrebbe essere chiaro che il prodotto di matrici rappresenta la composizione di funzioni lineari, che è a sua volta una funzione lineare.

[curiosone1]

Antimius, grazie ancora per il tuo aiuto!
Ho capito meglio il legame tra funzione lineare e prodotto di matrici, infatti l'ultima tua frase mi ha chiarito l'argomento successivo (composizione di funzioni lineari con prodotto di matrici).
Grazie, grazie e grazie

[Antimius]

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