Legame tra derivata prima e seconda di una funzione
Ciao a tutti 
Data la mia ignoranza in materia, mi chiedevo se esiste un certo tipo di legame tra la derivata $ n $-esima di una funzione e la derivata $ (n+1) $-esima di quella stessa funzione. Il legame a cui mi riferisco è incentrato sullo stabilire una relazione tra le due derivate che mi identifichi il valore di $ x $ (o anche di $ f(x) $) a destra o a sinistra del quale la derivata prima e/o la derivata seconda aumentano.
Come esempio pratico, visto che con ogni probabilità mi sarò spiegato con i piedi, porto il seguente: detto $ x $ il tempo, $ f(x) $ la posizione nello spazio, $ (df(x))/dx $ la velocità e $ (d^2f(x))/dx^2 $ l'accelerazione, qual è il rapporto "soglia" tra velocità e accelerazione oltre il quale il punto materiale "scappa via" troppo velocemente?
Mi rendo conto che, parlando di funzioni continue e derivabili con continuità, la risposta non esiste. Per questo mi chiedevo se esisteva una qualche forma di approssimazione (più o meno lineare) in serie, o qualche teorema, che identifica dei valori "soglia". Che so, Taylor può essere d'aiuto?
Grazie
Data la mia ignoranza in materia, mi chiedevo se esiste un certo tipo di legame tra la derivata $ n $-esima di una funzione e la derivata $ (n+1) $-esima di quella stessa funzione. Il legame a cui mi riferisco è incentrato sullo stabilire una relazione tra le due derivate che mi identifichi il valore di $ x $ (o anche di $ f(x) $) a destra o a sinistra del quale la derivata prima e/o la derivata seconda aumentano.
Come esempio pratico, visto che con ogni probabilità mi sarò spiegato con i piedi, porto il seguente: detto $ x $ il tempo, $ f(x) $ la posizione nello spazio, $ (df(x))/dx $ la velocità e $ (d^2f(x))/dx^2 $ l'accelerazione, qual è il rapporto "soglia" tra velocità e accelerazione oltre il quale il punto materiale "scappa via" troppo velocemente?
Mi rendo conto che, parlando di funzioni continue e derivabili con continuità, la risposta non esiste. Per questo mi chiedevo se esisteva una qualche forma di approssimazione (più o meno lineare) in serie, o qualche teorema, che identifica dei valori "soglia". Che so, Taylor può essere d'aiuto?
Grazie
Risposte
Scusa ma "troppo" non è un termine quantificabile. Cos'è per te troppo? In ogni caso il rapporto tra i due, come quello tra spazio e velocità dice abbastanza poco. Direi che non ti sei spiegato molto bene (direi per niente).
Il polinomio di Taylor approssima la funzione usando le sue derivate (semplificando molto). Non comprendo questo tuo bisogno di "soglie", non esiste certo una soglia della velocità oltre il quale la funzione si comporta in maniera imprevedibile. Per ogni velocità e accelerazione posso tranquillamente definirti una funzione con quella velocità e quella accelerazione in un punto che si fermi in tempo finito.
Il polinomio di Taylor approssima la funzione usando le sue derivate (semplificando molto). Non comprendo questo tuo bisogno di "soglie", non esiste certo una soglia della velocità oltre il quale la funzione si comporta in maniera imprevedibile. Per ogni velocità e accelerazione posso tranquillamente definirti una funzione con quella velocità e quella accelerazione in un punto che si fermi in tempo finito.
"vict85":
Direi che non ti sei spiegato molto bene (direi per niente).
Vediamo se riesco a spiegarmi meglio: supponi che tu debba intervenire sulla velocità di un punto materiale. Puoi misurare velocità e accelerazione del punto materiale. Inoltre disponi delle funzioni che descrivono la velocità e l'accelerazione del punto materiale, cioè disponi della derivata prima e della derivata seconda in forma chiusa.
Il tuo obiettivo è cercare di mantenere la velocità del punto materiale pressochè costante. Tuttavia non puoi intervenire tutte le volte che noti una variazione piccola a piacere della velocità, perchè ogni intervento ha un costo da sostenere. Devi quindi trovare il miglior compromesso tra (1) frequenza di intervento e (2) rischio di vederti scappare il punto materiale a causa dell'accelerazione.
La mia domanda può essere letta (o riformulata) in questo modo: esiste un teorema, un'approssimazione o qualcos'altro che, monitorando il valore assunto dalla derivata prima e dalla derivata seconda, ci fornisca una "spia" del fatto che il punto materiale si accinge ad accelerare a tal punto che è conveniente intervenire sulla sua velocità, pur sostenendo un costo?
Spero di essermi spiegato meglio, grazie
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