Legame tra derivata e primitiva: caso reale e complesso
Funzioni reali di variabile reale. Se una funzione è derivabile è anche continua e quindi, per il teor. fond. del calcolo integrale, ha una primitiva. Il viceversa è falso: esistono funzioni continue (e dunque dotate di primitiva) su tutta la retta ma non derivabili in alcun punto.
Nel caso complesso la situazione è completamente rovesciata. Se una funzione $f$ ha primitiva, allora è olomorfa: infatti sia $F'=f$; poiché la derivata di una funzione olomorfa $F$ è essa stessa olomorfa, $f$ è olomorfa. Viceversa, esistono funzioni olomorfe prive di primitiva: $\frac{1}{z}$ è olomorfa su tutto il piano complesso meno l'origine, ma non ha ivi primitiva (una funzione continua ha primitiva se e solo se l'integrale su ogni circuito è nullo, e questo non è il caso di $\frac{1}{z}$).
Ho capito bene?
Grazie mille,
L.
Nel caso complesso la situazione è completamente rovesciata. Se una funzione $f$ ha primitiva, allora è olomorfa: infatti sia $F'=f$; poiché la derivata di una funzione olomorfa $F$ è essa stessa olomorfa, $f$ è olomorfa. Viceversa, esistono funzioni olomorfe prive di primitiva: $\frac{1}{z}$ è olomorfa su tutto il piano complesso meno l'origine, ma non ha ivi primitiva (una funzione continua ha primitiva se e solo se l'integrale su ogni circuito è nullo, e questo non è il caso di $\frac{1}{z}$).
Ho capito bene?
Grazie mille,
L.
Risposte
Un altro modo per provare che se una funzione ha primitiva allora è olomorfa. Sia $f=u+iv$.
1. Dire che $f$ è olomorfa equivale a dire che le due 1-forme associate alla $f$ ($udx-vdy$ e $vdx+udy$) sono chiuse (basta usare le cond. di Cauchy-Riemann).
2. $f$ ha primitiva equivale a provare che le due 1-forme ad essa associate sono esatte.
Quindi, se $f$ ha prmitiva, le due 1-forme sono esatte, quindi chiuse, quindi la $f$ è olomorfa.
Si tratta di un giro molto più lungo di quello che ho enunciato prima (se $F'=f$, essendo la derivata di ogni $F$ olomorfa, segue che $f$ olomorfa), ma istruttivo.
Ciao,
L.
1. Dire che $f$ è olomorfa equivale a dire che le due 1-forme associate alla $f$ ($udx-vdy$ e $vdx+udy$) sono chiuse (basta usare le cond. di Cauchy-Riemann).
2. $f$ ha primitiva equivale a provare che le due 1-forme ad essa associate sono esatte.
Quindi, se $f$ ha prmitiva, le due 1-forme sono esatte, quindi chiuse, quindi la $f$ è olomorfa.
Si tratta di un giro molto più lungo di quello che ho enunciato prima (se $F'=f$, essendo la derivata di ogni $F$ olomorfa, segue che $f$ olomorfa), ma istruttivo.
Ciao,
L.
Ovviamente dipende da cosa intendi per primitiva in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Se nella tua definizione di primitiva è implicito l'assunto di monodromia, allora le cose stanno come hai detto*; altrimenti no.
Ad esempio, se si assume la monodromia, la funzione [tex]$\frac{1}{z}$[/tex] non ha primitive in [tex]$\mathbb{C} \setminus \{ 0\}$[/tex] (fermo restante il fatto che ne ha in ogni aperto connesso abbastanza "buono" da evitare giri intorno a [tex]$0$[/tex]); però se non la si assume, la stessa funzione ha (infinite) primitive polidrome in [tex]$\mathbb{C} \setminus \{ 0\}$[/tex], come [tex]$\ln z$[/tex].
__________
* Più o meno... In effetti se una funzione è olomorfa si possono sempre determinare primitive univoche locali (basta ricordare l'analiticità); tuttavia si perde la globalità, nel senso che non sempre si riesce a determinare una primitiva univoca in tutto l'aperto di olomorfia, nemmeno se l'aperto è connesso.
Se nella tua definizione di primitiva è implicito l'assunto di monodromia, allora le cose stanno come hai detto*; altrimenti no.
Ad esempio, se si assume la monodromia, la funzione [tex]$\frac{1}{z}$[/tex] non ha primitive in [tex]$\mathbb{C} \setminus \{ 0\}$[/tex] (fermo restante il fatto che ne ha in ogni aperto connesso abbastanza "buono" da evitare giri intorno a [tex]$0$[/tex]); però se non la si assume, la stessa funzione ha (infinite) primitive polidrome in [tex]$\mathbb{C} \setminus \{ 0\}$[/tex], come [tex]$\ln z$[/tex].
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* Più o meno... In effetti se una funzione è olomorfa si possono sempre determinare primitive univoche locali (basta ricordare l'analiticità); tuttavia si perde la globalità, nel senso che non sempre si riesce a determinare una primitiva univoca in tutto l'aperto di olomorfia, nemmeno se l'aperto è connesso.
"gugo82":
Ovviamente dipende da cosa intendi per primitiva in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Se nella tua definizione di primitiva è implicito l'assunto di monodromia, allora le cose stanno come hai detto*; altrimenti no.
Certo. In realtà tendo ad evitare sempre la definizione di "funzione polidroma". Una funzione è una funzione. Una "funzione polidroma" tra $A$ e $B$ non è una funzione tra $A$ e $B$.
Grazie mille,
L.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="gugo82"]Ovviamente dipende da cosa intendi per primitiva in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Se nella tua definizione di primitiva è implicito l'assunto di monodromia, allora le cose stanno come hai detto*; altrimenti no.
Certo. In realtà tendo ad evitare sempre la definizione di "funzione polidroma". Una funzione è una funzione. Una "funzione polidroma" tra $A$ e $B$ non è una funzione tra $A$ e $B$.[/quote]
In realtà il fenomeno della polidromia è inevitabile in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], quindi bisogna farci i conti; non è corretto eludere il problema semplicemente non parlandone.
"gugo82":
[quote="Lorenzo Pantieri"][quote="gugo82"]Ovviamente dipende da cosa intendi per primitiva in [tex]$\mathbb{C}$[/tex].
Se nella tua definizione di primitiva è implicito l'assunto di monodromia, allora le cose stanno come hai detto*; altrimenti no.
Certo. In realtà tendo ad evitare sempre la definizione di "funzione polidroma". Una funzione è una funzione. Una "funzione polidroma" tra $A$ e $B$ non è una funzione tra $A$ e $B$.[/quote]
In realtà il fenomeno della polidromia è inevitabile in [tex]$\mathbb{C}$[/tex], quindi bisogna farci i conti; non è corretto eludere il problema semplicemente non parlandone.[/quote]
In realtà, non è che voglio "eludere il problema non parlandone". Il problema c'è eccome, e va risolto!
Per esempio, l'equazione $z^2-a=0$ ha nel campo complesso due soluzioni: in altre parole, $a$ possiede due "radici quadrate". Per definire la funzione radice quadrata, bisogna allora procedere con precisione. Per esempio, se $z$ è un numero complesso non nullo, si può scrivere univocamente $z=|z|e^{i\theta}$ con $0\le\theta<2\pi$ ($\theta$ è l'argomento principale di $z$). Allora, la funzione radice quadrata è, semplicemente, $\sqrt{z}=\sqrt{|z|}e^{i\theta/2}$.
Allo stesso modo, la funzione logaritmo si definisce come $\log{z}=\ln|z|+i\theta$.
Nessun ricorso a "funzioni polidrome", ma semplicemente funzioni (non specifico "monodrome", perché per me ogni funzione è monodroma) definite con cura.
Ciao,
L.
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