Legame tra area dell'integrale e derivata
ciao
vorrei sapere perchè l'integrale, concepito come un'operazione inversa rispetto alla derivata, riesce a fornire il valore di un'area sottesa dal grafico di una curva. Cioè in altre parole, sappiamo che la derivata fornisce il valore della tangente in un punto o cmq dell'insieme delle tangenti ad una data curva (in funzione del punto) e questo è abbastanza ragionevole se pensata come il limite del rapporto incrementale. ma riuscire a concepire addirittura l'"inverso" di una derivata come un'area è qualcosa di più complesso. sembra una domanda semplice ma in realtà finora non ho trovato nessuno che sia riuscito a spiegarmi a fondo la questione.
mi potete aiutare ?
ve ne sarei molto grato
Alessandro
vorrei sapere perchè l'integrale, concepito come un'operazione inversa rispetto alla derivata, riesce a fornire il valore di un'area sottesa dal grafico di una curva. Cioè in altre parole, sappiamo che la derivata fornisce il valore della tangente in un punto o cmq dell'insieme delle tangenti ad una data curva (in funzione del punto) e questo è abbastanza ragionevole se pensata come il limite del rapporto incrementale. ma riuscire a concepire addirittura l'"inverso" di una derivata come un'area è qualcosa di più complesso. sembra una domanda semplice ma in realtà finora non ho trovato nessuno che sia riuscito a spiegarmi a fondo la questione.
mi potete aiutare ?
ve ne sarei molto grato
Alessandro
Risposte
Quello a cui tu fai riferimento è noto come "teorema fondamentale del calcolo integrale". Si può dimostrare formalmente, e non è neanche troppo difficile, ma penso che tu voglia avere un'idea intuitiva della faccenda. L'idea è questa: se consideri $f:[a,b]\to[0, infty)$ e la funzione, diciamo $F$, che ad $x$ associa l'area sotto il grafico di $f$ da $a$ ad $x$, quando vai a calcolare il rapporto incrementale di $F$ in un punto $x_0$ ti ritrovi proprio $f(x_0)$. Adesso provo a disegnare un grafico per spiegarmi meglio.
[asvg]xmin=0;xmax=1.57; ymin=0; ymax=1; axes();
stroke="black"; plot("cos(x)");line([1,0],[1, 0.54]);
text([0,0], "a", below); text([1.57,0], "b", below); text([1,0], "x", below); text([0.5, 0.4], "F(x)");[/asvg]
Supponiamo che questo sia il grafico di una funzione $[a,b]\toRR$ continua. Definiamo una funzione $F:[a,b]\toRR$ associando ad ogni $x$ in $[a,b]$ l'area del rettangoloide di base $[a, x]$ determinato da $f$. Fissato $x_0\in[a,b]$, studiamone il rapporto incrementale $(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)$.
[asvg]xmin=0;xmax=1.57; ymin=0; ymax=1; axes();
stroke="black"; plot("cos(x)");line([1,0],[1, 0.88]); line([0.5, 0], [0.5, 0.88]); line([1, 0.54], [0, 0.54]); line([0.5, 0.88], [0, 0.88]); line([1,0.88],[0, 0.88]);
text([0,0], "a", below); text([1.57,0], "b", below); text([1,0], "x", below); text([0.7, 0.4], "F(x)-F(x0)");text([0.5, 0], "x0", below);text([0, 0.54], "f(c)", left); text([0, 0.88], "f(d)", left);[/asvg]
$F(x)-F(x_0)$ è pari all'area del rettangoloide di base $[x_0, x]$ nel grafico. (Supponiamo che $x>x_0$ per semplicità.) La base di questo rettangoloide è lunga $x-x_0$. Supponiamo per un attimo che questo rettangoloide sia un rettangolo normale. Che cosa otteniamo dividendo l'area per la base? Otteniamo l'altezza. Tornando al nostro rettangoloide, quello che abbiamo ottenuto dividendo l'area per la base è un numero sicuramente compreso tra l'altezza del più grande rettangolo contenuto e quella del più piccolo rettangolo contenente il rettangoloide. Queste altezze sono valori assunti dalla $f$, diciamo $f(c), f(d)$. In formule: $f(c)<= (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) <= f(d)$.
Quando passiamo al limite per $x\tox_0$, tanto $c$ quanto $d$ tendono a $x_0$. Grazie alla continuità della $f$ possiamo dire che $f(c), f(d)\to f(x_0)$ e perciò il rapporto incrementale della $F$ è obbligato a convergere a $f(x_0)$. Ovvero la derivata della funzione $F$ in $x_0$ è pari a $f(x_0)$. Ecco perché, in un certo senso molto impreciso, la derivata della funzione che misura le aree sotto il grafico di $f$ è proprio la funzione $f$.
P.S.: Questo discorso non dimostra niente. In parecchi punti ho dato per scontate cose che scontate non sono, prima fra tutte la definizione di "area sotto il grafico". E poi non so quanto sia stato chiaro. Comunque, per grandissime linee, è questa l'idea di fondo.
stroke="black"; plot("cos(x)");line([1,0],[1, 0.54]);
text([0,0], "a", below); text([1.57,0], "b", below); text([1,0], "x", below); text([0.5, 0.4], "F(x)");[/asvg]
Supponiamo che questo sia il grafico di una funzione $[a,b]\toRR$ continua. Definiamo una funzione $F:[a,b]\toRR$ associando ad ogni $x$ in $[a,b]$ l'area del rettangoloide di base $[a, x]$ determinato da $f$. Fissato $x_0\in[a,b]$, studiamone il rapporto incrementale $(F(x)-F(x_0))/(x-x_0)$.
[asvg]xmin=0;xmax=1.57; ymin=0; ymax=1; axes();
stroke="black"; plot("cos(x)");line([1,0],[1, 0.88]); line([0.5, 0], [0.5, 0.88]); line([1, 0.54], [0, 0.54]); line([0.5, 0.88], [0, 0.88]); line([1,0.88],[0, 0.88]);
text([0,0], "a", below); text([1.57,0], "b", below); text([1,0], "x", below); text([0.7, 0.4], "F(x)-F(x0)");text([0.5, 0], "x0", below);text([0, 0.54], "f(c)", left); text([0, 0.88], "f(d)", left);[/asvg]
$F(x)-F(x_0)$ è pari all'area del rettangoloide di base $[x_0, x]$ nel grafico. (Supponiamo che $x>x_0$ per semplicità.) La base di questo rettangoloide è lunga $x-x_0$. Supponiamo per un attimo che questo rettangoloide sia un rettangolo normale. Che cosa otteniamo dividendo l'area per la base? Otteniamo l'altezza. Tornando al nostro rettangoloide, quello che abbiamo ottenuto dividendo l'area per la base è un numero sicuramente compreso tra l'altezza del più grande rettangolo contenuto e quella del più piccolo rettangolo contenente il rettangoloide. Queste altezze sono valori assunti dalla $f$, diciamo $f(c), f(d)$. In formule: $f(c)<= (F(x)-F(x_0))/(x-x_0) <= f(d)$.
Quando passiamo al limite per $x\tox_0$, tanto $c$ quanto $d$ tendono a $x_0$. Grazie alla continuità della $f$ possiamo dire che $f(c), f(d)\to f(x_0)$ e perciò il rapporto incrementale della $F$ è obbligato a convergere a $f(x_0)$. Ovvero la derivata della funzione $F$ in $x_0$ è pari a $f(x_0)$. Ecco perché, in un certo senso molto impreciso, la derivata della funzione che misura le aree sotto il grafico di $f$ è proprio la funzione $f$.
P.S.: Questo discorso non dimostra niente. In parecchi punti ho dato per scontate cose che scontate non sono, prima fra tutte la definizione di "area sotto il grafico". E poi non so quanto sia stato chiaro. Comunque, per grandissime linee, è questa l'idea di fondo.
"Alex89VE":
ciao
vorrei sapere perchè l'integrale, concepito come un'operazione inversa rispetto alla derivata, riesce a fornire il valore di un'area sottesa dal grafico di una curva. Cioè in altre parole, sappiamo che la derivata fornisce il valore della tangente in un punto o cmq dell'insieme delle tangenti ad una data curva (in funzione del punto) e questo è abbastanza ragionevole se pensata come il limite del rapporto incrementale. ma riuscire a concepire addirittura l'"inverso" di una derivata come un'area è qualcosa di più complesso. sembra una domanda semplice ma in realtà finora non ho trovato nessuno che sia riuscito a spiegarmi a fondo la questione.
mi potete aiutare ?
ve ne sarei molto grato
Alessandro
Qui c'è un equivoco.
L'integrazione non è l'operazione inversa della derivazione.
Infatti, mentre la derivata associa ad una funzione $f$ un'altra funzione (cioè la sua derivata $f'$), l'integrale definito, che è quello a cui fai riferimento tu, associa ad ogni funzione $g$ un numero reale (cioè $\int_a^b g(x)" d"x$, ammesso che quest'ultimo esista). Se l'integrale definito fosse davvero l'"operazione inversa della derivazione" dovrebbe associare a $g$ un'unica funzione $G$ tale che $G'=g$, cosa che, come detto, non accade.
D'altra parte, tu potresti dire: "Ma io mi riferivo all'integrale indefinito, non a quello definito"... Ciò non è possibile: infatti l'integrale indefinito associa ad ogni funzione $g$ un'insieme di funzioni dipendente da un unico parametro reale (diciamo $\{ G+\alpha ,\quad \alpha \in \RR \}$ dove $G$ è tale che $G'=g$) che è cosa ben diversa da un'area, che è un numero reale.
E d'altra parte nemmeno l'integrale indefinito così com'è può essere, a rigore, considerato come operazione inversa della derivazione: se lo fosse dovrebbe assegnare a $g$ un'unica funzione $G$ tale che $G'=g$, contro il fatto che l'integrale indefinito di $g$ contiene una famiglia "molto grande" di funzioni.
L'unico legame tra integrale e derivata è quello dell'enunciato del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, che nessuno si è preso la briga di enunciare (ci si è limitati a citarlo a sproposito); supplisco io:
Siano $I\subseteq \RR$ un intervallo, $x_0\in I$, $y_0\in \RR$ ed $f:I\to \RR$ una funzione limitata ed integrabile secondo Riemann.
La funzione $F:I\to \RR$ definita ponendo:
$\quad F(x):=y_0+\int_(x_0)^x f(t)" d"t$
è continua in $I$ e risulta $F(x_0)=y_0$; inoltre $F$ è derivabile in ogni punto in cui $f$ risulti continua ed, in particolare, si ha $F'(x)=f(x)$ in ogni punto $x\in I$ di continuità per $f$.
Insomma, bisogna fare un po' di attenzione con i termini.
Resta il fatto che il termine antiderivazione è usato, anche se impropriamente come ha ben spiegato gugo.
Quote
Appunti di Analisi Matematica A .
L'operazione che fa passare da una funzione $f $ al suo integrale indefinito è detta antiderivazione perchè ogni funzione derivabile è una primitiva della propria derivata , cioè $int f'(x) dx = f(x)+K$ .
L'operatore di integrazione ( o di antiderivazione) è lineare.
Unquote
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Appunti di Analisi Matematica A .
L'operazione che fa passare da una funzione $f $ al suo integrale indefinito è detta antiderivazione perchè ogni funzione derivabile è una primitiva della propria derivata , cioè $int f'(x) dx = f(x)+K$ .
L'operatore di integrazione ( o di antiderivazione) è lineare.
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"Camillo":
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Appunti di Analisi Matematica A .
L'operazione che fa passare da una funzione $f $ al suo integrale indefinito è detta antiderivazione perchè ogni funzione derivabile è una primitiva della propria derivata , cioè $int f'(x) dx = f(x)+K$ .
L'operatore di integrazione ( o di antiderivazione) è lineare.
Unquote
Siamo d'accordo, Cami... Però l'operazione d'integrazione indefinita non è un'applicazione tra spazi di funzioni (o almeno non è un'applicazione monodroma).
Per vederla in questo modo dovremmo fare qualche modifica algebrica: insomma detto $C$ l'insieme delle funzioni continue su un intervallo $I$, si introduce in $C^1$ una relazione d'equivalenza ponendo $f\sim g \quad \Leftrightarrow f-g=\alpha \in \RR$; a questo punto si passa al quoziente $S:=\frac{C^1}{\sim}$ e si può considerare effettivamente l'operazione d'integrazione indefinita come applicazione di $C$ in $S$...
D'altra parte, se invece di $C$ si considera l'insieme $\ccR$ delle funzioni limitate integrabili alla Riemann su $I$, abbiamo bisogno ancora di altre modifiche per riguardare l'operazione d'integrazione indefinta come applicazione, questa volta di $\ccR$ in $C$ (per il Teorema Fondamentale è solo la continuità della primitiva ad essere garantita in tutto $I$ nelle ipotesi poste). Tali modifiche credo si debbano fare partendo dal Teorema di Vitali-Lebesgue (che, in soldoni, assicura che le funzioni integrali $\int_a^x f(t)" d"t$ e $\int_b^x g(t)" d"t$ differiscono per una costante, se $a,b\in I$ e se $f,g\in \ccR$ differiscono su un insieme di misura nulla secondo Lebesgue)...
Insomma mi pare un po' troppo per così poco.
vabeh, secondo la mia umile opinione però ora si sta divagando troppo e uscendo dal seminato,...l'autore del topic voleva solo sapere un legame dal punto di vista intuitivo, geometrico, "visivo" quasi , come quello che c'è tra la derivata e la tangente a una funzione, però tra una primitiva e l'area sotto il grafico...
"antani":
vabeh, secondo la mia umile opinione però ora si sta divagando troppo e uscendo dal seminato,...l'autore del topic voleva solo sapere un legame dal punto di vista intuitivo, geometrico, "visivo" quasi , come quello che c'è tra la derivata e la tangente a una funzione, però tra una primitiva e l'area sotto il grafico...
Non c'è nessun punto di vista intuitivo...
Voglio dire, il legame tra derivazione ed integrazione definita è quello stabilito nel Teorema Fondamentale; che poi uno ci voglia ricamare un po' sopra per non essere "bruto" è un'altra questione.
Il punto è che quando si ricama sulla Matematica bisogna fare attenzione all'uso dei termini, altrimenti si confondono gli studenti (e si butta al vento una gran parte della storia della Matematica stessa).
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