Legame soluzioni - derivata

[matematicamenteparlando]

Ciao a tutti, mi potreste spiegare il legame che c'è fra le radici di una equazione e la relativa derivata prima

Grazie mille a tutti per la disponibilità

[grimx]

Non ho capito bene la domanda, potresti essere più preciso?

[matematicamenteparlando]

Allora io a lezione non ero presente e mi hanno detto che il prof ha spiegato il legame che c'è tra le radici di una equazione e la derivata prima della funzione che rappresenta l'equazione. ad esempio : la funzione $f (x) = 2e^x − cos(x) − 2$ il prof ha detto che poiché la sua derivata prima è positiva in $[0,\infty]$ allora l'equazione associata alla funzione,$f (x) = 2e^x − cos(x) − 2=0$ in quest'ultimo intervallo ha una sola soluzione.

Volevo sapere cosa c'è dietro tutto questo

Grazie ancora

[Epimenide93]

"matematicamenteparlando":
Volevo sapere cosa c'è dietro tutto questo

Il teorema di esistenza degli zeri. Ti invito a trarre da te le conclusioni

[matematicamenteparlando]

Perfetto ora mi è tutto più chiaro.
Ma quando si definisce una funzione come 'monotona' si intende che la funzione è solo crescente,decrescente o costante oppure che è solo o crescente o decrescente?

[Epimenide93]

Con (debolmente) monotòna generalmente si intende una funzione tale che \( x < y \Rightarrow f(x) \geq f(y) \) (monotòna decrescente) oppure \( x < y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \) (monotòna crescente), ergo le funzioni costanti e le funzioni continue costanti a tratti sono (debolmente) monotòne. Per indicare funzioni tali che che \( x < y \Rightarrow f(x) > f(y) \) oppure \( x < y \Rightarrow f(x) < f(y) \) si parla di funzioni strettamente monotòne.

In pratica, per abitudine il "debolmente" spesso si sottintende mentre "strettamente" si tende a dirlo/scriverlo esplicitamente, ma non è una regola ed è una questione piuttosto soggettiva, dipende molto dal professore/autore. Quella che ho scritto è la convenzione più diffusa. Se sono possibili ambiguità è meglio specificare sempre il tipo di monotonia di cui si parla.