Lebesgue's Monotone Convergence Theorem

[5mrkv]

1.26 Let $\{f_{n}\}$ be a sequence of measurable functions on $X$, and suppose that

(a) $0<=f_{1}(x)<=f_{2}(x)<=...<=\infty \forall x \in X$
(b) $f_{n}(x)->f(x)$ as $n->\infty\forall x \in X$

Then $f$ is measurable, and
\[ \int_{X}f_{n}d\mu \rightarrow \int_{X}fd \mu\ \ \text{as}\ \ n\rightarrow \infty \]

PROOF Dato che
\[f_{n}\leq f_{n+1}\Rightarrow \int f_{n}\leq \int f_{n+1}=a_{n+1}\in [0,\infty]\]
abbiamo una successione monotona crescente $\{a_{n}\}$ che ammette quindi limite $\alpha$. L'altro limite $f$ risulta misurabile perché estremo superiore di una successione di funzioni misurabili e si ha anche
\[f_{n}\leq f\Rightarrow \int f_{n} \leq \int f\ \forall x \in X\]
data la monotonia, e passando allora al limite si ottiene
\[\alpha \leq \int_{X}fd \mu\]
Ora arriva la parte dove ho dei problemi. Sia $s$ una funzione semplice e misurabile tale che $0<=s<=f$, sia $c$ una costante, $0 \[E_{n}=\{x:f:{n}(x)\geq cs(x)\}\ \ \ (n=1, 2, 3,...)\]
Allora $E_{n}\subsetE_{n+1}$ e $X=\cup E_{n}$. Per capire questa cosa ho fatto il disegnino su carta e distinto i seguenti casi:

$E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}$ con $c=2^{-1}$ e $s=f$ per un disegno
$E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}$ con $s=0$ allora $E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq 0\}$ quindi $E_{n}=E_{n+1}$?
$E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}$ con $s\ne 0$ che è il caso generico ma simile al primo

E seguendo quello che dice il testo, ho $x \in X$ e $f(x)=0 =>x\in E_{1}$ (ma anche in $E_{n}$?) mentre se $f(x)>0$ allora $cs(x)$ $E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq g(x)\}$ con $g(x)
Poi ci sono due disuguaglianze strane:

\[\int_{X}f_{n}d\mu\geq\int_{E_{n}}f_{n}d\mu\geq c\int_{E_{n}}s(x)d\mu\]

La prima è una proprietà dell'integrale di Lebesgue, l'altra pure ma perché segua dovrebbe essere $f_{n}\geq cs(x)$ La seconda è questa:

\[\alpha \geq c\int_{E_{n}}s(x)d\mu \Rightarrow \alpha \geq \int_{E_{n}}s(x)d\mu\]

Come fa a secondo membro a sostituire un elemento più grande

[gugo82]

"5mrkv":1.26 Let $\{f_{n}\}$ be a sequence of measurable functions on $X$, and suppose that

(a) $0<=f_{1}(x)<=f_{2}(x)<=...<=\infty \forall x \in X$
(b) $f_{n}(x)->f(x)$ as $n->\infty\forall x \in X$

Then $f$ is measurable, and
\[ \int_{X}f_{n}d\mu \rightarrow \int_{X}fd \mu\ \ \text{as}\ \ n\rightarrow \infty \]

PROOF Dato che
\[f_{n}\leq f_{n+1}\Rightarrow \int f_{n}\leq \int f_{n+1}=a_{n+1}\in [0,\infty]\]
abbiamo una successione monotona crescente $\{a_{n}\}$ che ammette quindi limite $\alpha$. L'altro limite $f$ risulta misurabile perché estremo superiore di una successione di funzioni misurabili e si ha anche
\[f_{n}\leq f\Rightarrow \int f_{n} \leq \int f\ \forall x \in X\]
data la monotonia, e passando allora al limite si ottiene
\[\alpha \leq \int_{X}fd \mu\]
Ora arriva la parte dove ho dei problemi. Sia $s$ una funzione semplice e misurabile tale che $0<=s<=f$, sia $c$ una costante, $0 \[E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}\ \ \ (n=1, 2, 3,...)\]
Allora $E_{n}\subsetE_{n+1}$ e $X=\cup E_{n}$. Per capire questa cosa ho fatto il disegnino su carta e distinto i seguenti casi:

$E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}$ con $c=2^{-1}$ e $s=f$ per un disegno
$E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}$ con $s=0$ allora $E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq 0\}$ quindi $E_{n}=E_{n+1}$?
$E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq cs(x)\}$ con $s\ne 0$ che è il caso generico ma simile al primo

E seguendo quello che dice il testo, ho $x \in X$ e $f(x)=0 =>x\in E_{1}$ (ma anche in $E_{n}$?) mentre se $f(x)>0$ allora $cs(x)$ $E_{n}=\{x:f_{n}(x)\geq g(x)\}$ con $g(x)
Beh, la successione \(f_n (x)\) è crescente per ogni fissato \(x\) (a parte un insieme di misura nulla, credo), quindi se \(cs (x)

"5mrkv":Poi ci sono due disuguaglianze strane:

\[\int_{X}f_{n}d\mu\geq\int_{E_{n}}f_{n}d\mu\geq c\int_{E_{n}}s(x)d\mu\]

La prima è una proprietà dell'integrale di Lebesgue, l'altra pure ma perché segua dovrebbe essere $f_{n}\geq cs(x)$

Beh l'integrale è esteso ad \(E_n\) e in tale insieme si ha \(f_n(x)\geq c\ s(x)\), quindi...

"5mrkv":La seconda è questa:

\[\alpha \geq c\int_{E_{n}}s(x)d\mu \Rightarrow \alpha \geq \int_{E_{n}}s(x)d\mu\]

Come fa a secondo membro a sostituire un elemento più grande

Basta prendere il limite per \(c\to 1^-\) membro a membro.


P.S.: Che libro? Il Papa-Rudin?

[5mrkv]

Ok. Algebricamente $1$ ed $1^{-1}$ sono la stessa cosa?
Non ho ancora capito perché gli $E_{n}$ sono misurabili, è collegato al fatto di essere retroimmagini di funzioni misurabili?
Il libro è Walter Rudin, Real and Complex Analysis, non ho tanti libri di matematica in biblioteca ma questo mi sembra impegnativo

[gugo82]

"5mrkv":Ok. Algebricamente $1$ ed $1^{-1}$ sono la stessa cosa?

Che c'entra \(1^{-1}\)???

"5mrkv":Non ho ancora capito perché gli $E_{n}$ sono misurabili, è collegato al fatto di essere retroimmagini di funzioni misurabili?

Esatto.
Infatti \(E_n\) è la controimmagine di \([0,\infty[\) mediante la funzione misurabile \(f_n-c\ s\).

"5mrkv":Il libro è Walter Rudin, Real and Complex Analysis, non ho tanti libri di matematica in biblioteca ma questo mi sembra impegnativo

Tutti i libri di Rudin sono tosti.
Diciamo che sarebbe più produttivo per te studiare da un altro testo un po' meno sintetico (sei ingegnere, no?).

[5mrkv]

"gugo82":[quote="5mrkv"]Ok. Algebricamente $1$ ed $1^{-1}$ sono la stessa cosa?

Che c'entra \(1^{-1}\)???
[/quote]Eh, volevo scrivere $1^{-}$. Quindi ripeto la domanda.

"5mrkv":Non ho ancora capito perché gli $E_{n}$ sono misurabili, è collegato al fatto di essere retroimmagini di funzioni misurabili?

Esatto.
Infatti \(E_n\) è la controimmagine di \([0,\infty[\) mediante la funzione misurabile \(f_n-c\ s\).

[quote="5mrkv"]Il libro è Walter Rudin, Real and Complex Analysis, non ho tanti libri di matematica in biblioteca ma questo mi sembra impegnativo

Tutti i libri di Rudin sono tosti.
Diciamo che sarebbe più produttivo per te studiare da un altro testo un po' meno sintetico (sei ingegnere, no?).[/quote]
Studio fisica, ma non sono ancora fisico.

[5mrkv]

"gugo82":Esatto.
Infatti \(E_n\) è la controimmagine di \([0,\infty[\) mediante la funzione misurabile \(f_n-c\ s\).

Per quanto riguarda questo punto. Se riscrivo $g_{n}(x)=f_{n}(x)-cs(x)$ allora $E_{n}=\{x\in X:g_{n}(x)>=0\}$, è chiaro che $E_{n}=f^{-1}(Y)$, ma perché $Y=[0,\infty[$ e non magari $Y=[0,\infty]$? La retroimmagine di un aperto tramite una funzione misurabile è un insieme misurabile, quindi $Y$ è aperto perché sostegno di una topologia?