Lebesgue-Jordan
Buonasera,
Avrei da chiedervi un chiarimento riguardo le differenze principali tra la misura secondo Lebesgue e secondo Jordan...
Qualcuno sa mica darmi una spiegazione chiara e poco dispersiva?
Grazie anticipatamente,
Andrea
Avrei da chiedervi un chiarimento riguardo le differenze principali tra la misura secondo Lebesgue e secondo Jordan...
Qualcuno sa mica darmi una spiegazione chiara e poco dispersiva?
Grazie anticipatamente,
Andrea
Risposte
Premessa: Quelle che seguono sono solo due noticine a margine; sulla differenza tra le due misure si possono scrivere testi interi. 
Chiunque voglia aggiungere qualcosa è benvenuto.
***
La differenza fondamentale tra le due "misure" è che gli insiemi misurabili secondo Lebesgue sono molti di più rispetto a quelli misurabili secondo Jordan.
Ad esempio, tutti gli insiemi numerabili sono misurabili secondo Lebesgue (ed hanno misura nulla) mentre esistono insiemi numerabili che non sono misurabili nel senso di Jordan (ad esempio [tex]$\mathbb{Q} \cap [0,1]$[/tex] non è misurabile secondo Jordan, ché ha misura esterna [tex]$=1$[/tex] e misura interna [tex]$=0$[/tex]).
A ben vedere questo fatto dipende da una differenza sostanziale tra le due misure: infatti la misura di Lebesgue è numerabilmente additiva (ciò vuol dire che se [tex]$(E_n)$[/tex] è una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue e a due a due disgiunti, allora l'unione [tex]$E:=\bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n$[/tex] è misurabile secondo Lebesgue e si ha [tex]$m(E)=\sum_{n=1}^{+\infty} m(E_n)$[/tex]), mentre la misura di Jordan è solo finitamente additiva (nel senso che se [tex]$E_1,\ldots ,E_N$[/tex] sono misurabili secondo Jordan e disgiunti allora [tex]$E=\bigcup_{n=1}^N E_n$[/tex] è misurabile secondo Jordan e [tex]$\mu (E) =\sum_{n=1}^N \mu (E_n)$[/tex]).
Per un resoconto storico di come si è arrivati alla misura di Lebesgue puoi consultare questo mio vecchio post.
Chiunque voglia aggiungere qualcosa è benvenuto.
***
La differenza fondamentale tra le due "misure" è che gli insiemi misurabili secondo Lebesgue sono molti di più rispetto a quelli misurabili secondo Jordan.
Ad esempio, tutti gli insiemi numerabili sono misurabili secondo Lebesgue (ed hanno misura nulla) mentre esistono insiemi numerabili che non sono misurabili nel senso di Jordan (ad esempio [tex]$\mathbb{Q} \cap [0,1]$[/tex] non è misurabile secondo Jordan, ché ha misura esterna [tex]$=1$[/tex] e misura interna [tex]$=0$[/tex]).
A ben vedere questo fatto dipende da una differenza sostanziale tra le due misure: infatti la misura di Lebesgue è numerabilmente additiva (ciò vuol dire che se [tex]$(E_n)$[/tex] è una successione di insiemi misurabili secondo Lebesgue e a due a due disgiunti, allora l'unione [tex]$E:=\bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n$[/tex] è misurabile secondo Lebesgue e si ha [tex]$m(E)=\sum_{n=1}^{+\infty} m(E_n)$[/tex]), mentre la misura di Jordan è solo finitamente additiva (nel senso che se [tex]$E_1,\ldots ,E_N$[/tex] sono misurabili secondo Jordan e disgiunti allora [tex]$E=\bigcup_{n=1}^N E_n$[/tex] è misurabile secondo Jordan e [tex]$\mu (E) =\sum_{n=1}^N \mu (E_n)$[/tex]).
Per un resoconto storico di come si è arrivati alla misura di Lebesgue puoi consultare questo mio vecchio post.
Grazie Gugo82, mi hai dato un ottimo esempio...
Ho letto il tuo vecchio post e anche lì ho capito qualcosa di +...
Grazie ancora ^^
Andrea
Ho letto il tuo vecchio post e anche lì ho capito qualcosa di +...
Grazie ancora ^^
Andrea
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