Le soluzioni di unequazione differenziale possono convergere
in questi giorni mi sono divertito a tracciare i grafici dei campi di direzioni di alcune equazioni differenziali e mi sono accorto di una cosa strana
ho provato a cercare su tutti i libri che avevo a disposizione e non ho trovato nulla
ho provato a cercare su internet e non ho trovato nulla
provo ora a chiedere a voi con la fiducia di trovare quello che cerco
venendo subito al dunque ho notato che in alcuni casi le soluzioni delle equazioni differenziali "sembrano convergere" ad un punto, sicuramente ho sbagliato termine e vi chiedo scusa ma non sono un matematico professionista come voi.
Ecco, ad esempio l'equazione differenziale $y'(x) = y(x)/x$, il campo vettoriale $f(x,y) = y/x$ non è definito nell'origine eppure tutte le soluzioni di questa equazione sembrano passare nell'origine. Posso dire che le soluzioni convergono nell'origine?
http://img23.imageshack.us/img23/9623/70336492.jpg
Ho trovato TANTISSIMI altri esempi simili di equazion [se è necessario ve li scrivo]i il cui campo vettoriale f(x,y) presenta una o più discontinuità e ciononostante "sembra che tutte le soluzioni" convergano a tali punti di discontinuità
Questo ""fenomeno"" ha un nome? dove posso approfondire la questione?
Vi ringrazio anticipatamente
ho provato a cercare su tutti i libri che avevo a disposizione e non ho trovato nulla
ho provato a cercare su internet e non ho trovato nulla
provo ora a chiedere a voi con la fiducia di trovare quello che cerco
venendo subito al dunque ho notato che in alcuni casi le soluzioni delle equazioni differenziali "sembrano convergere" ad un punto, sicuramente ho sbagliato termine e vi chiedo scusa ma non sono un matematico professionista come voi.
Ecco, ad esempio l'equazione differenziale $y'(x) = y(x)/x$, il campo vettoriale $f(x,y) = y/x$ non è definito nell'origine eppure tutte le soluzioni di questa equazione sembrano passare nell'origine. Posso dire che le soluzioni convergono nell'origine?
http://img23.imageshack.us/img23/9623/70336492.jpg
Ho trovato TANTISSIMI altri esempi simili di equazion [se è necessario ve li scrivo]i il cui campo vettoriale f(x,y) presenta una o più discontinuità e ciononostante "sembra che tutte le soluzioni" convergano a tali punti di discontinuità
Questo ""fenomeno"" ha un nome? dove posso approfondire la questione?
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
scusate, nella fretta ho fatto un errore di battitura
l'equazione è questa $y'(X) = (y(x))/x$
l'equazione è questa $y'(X) = (y(x))/x$
Io non vorrei che fosse un problema di software. Nel senso che le soluzioni dell'equazione differenziale $y'(x)= y(x)/x$ sono $y(x)= A x$ con $A\in RR$. La soluzione costante è $y(x)=0$. L'equazione differenziale è ben posta per $x!=0$ quindi avrai soluzioni che possono essere definite su $(-infty, 0)$ oppure $(0, +\infty)$ (dipende dal punto iniziale) e non su tutto $RR$ . A mio avviso il programma non riesce a vedere questa limitazione e plotta y(x)= Ax. Aspetta comunque qualcuno che conosca meglio di me le equazioni differenziali 
Il mio programma mette un bel puntino rosso nell'origine come a dire che non esistono suluzioni passanti per quel punto
ma cosa succede esattamente nell'origine?
ma cosa succede esattamente nell'origine?
"magliocurioso":
Il mio programma mette un bel puntino rosso nell'origine come a dire che non esistono suluzioni passanti per quel punto
ma cosa succede esattamente nell'origine?
Mi verrebbe da dire che presa una funzione soluzione, essa non passa per l'origine perchè definita per $x\in(0, +\infty)$ oppure $x\in (-\infty, 0)$
Il fenomeno descritto e' perfettamente normale (non credo peraltro che abbia un nome). Le soluzioni sono definite sull'intervallo aperto e come tali
possono avere o non avere limite alla frontiera di tale aperto. Potrei fornire moltissimi esempi di equazioni che sono singolari in un punto le cui soluzioni, in
quel punto, tendono a zero/ tendono a un limite finito diverso da zero/ tendono all'infinito.
Per esempio l'equazione proposta $y'=y/x$ ha come soluzioni la famiglia di rette (gia' indicata) $y(x)=Ax$,
che ovviamente posso pensare definite anche in zero con valore zero.
Posso dire che tali funzioni sono soluzioni su tutto $RR$ ? Beh questo dipende da cosa intendo con soluzione.
Se pretendo che l'equazione valga $x$ per $x$ allora mi trovo di fronte alla scrittura $0/0$ che non ha senso e quindi $y(x)=A x$
non puo' considerarsi soluzione vicino a zero - ci sono pero' definizioni piu' deboli di soluzione per cui invece $y(x)=A x$ si puo' ritenere soluzione.
Possiamo anche notare che tali funzioni sono sicuramente soluzioni dell'equazione $xy'=y$ (che sembrerebbe la stessa di prima, ma non lo e' esattamente).
possono avere o non avere limite alla frontiera di tale aperto. Potrei fornire moltissimi esempi di equazioni che sono singolari in un punto le cui soluzioni, in
quel punto, tendono a zero/ tendono a un limite finito diverso da zero/ tendono all'infinito.
Per esempio l'equazione proposta $y'=y/x$ ha come soluzioni la famiglia di rette (gia' indicata) $y(x)=Ax$,
che ovviamente posso pensare definite anche in zero con valore zero.
Posso dire che tali funzioni sono soluzioni su tutto $RR$ ? Beh questo dipende da cosa intendo con soluzione.
Se pretendo che l'equazione valga $x$ per $x$ allora mi trovo di fronte alla scrittura $0/0$ che non ha senso e quindi $y(x)=A x$
non puo' considerarsi soluzione vicino a zero - ci sono pero' definizioni piu' deboli di soluzione per cui invece $y(x)=A x$ si puo' ritenere soluzione.
Possiamo anche notare che tali funzioni sono sicuramente soluzioni dell'equazione $xy'=y$ (che sembrerebbe la stessa di prima, ma non lo e' esattamente).
Riesumo per una precisazione.
L'equazione differenziale $y'-y/x=0$ può essere riguardata alla luce della teoria delle singolarità per le EDO in campo complesso: si scopre che l'equazione ha sì un punto singolare in $x_0=0$ ($x$ in questo caso va riguardata come variabile complessa), ma tale punto singolare è di tipo regolare (od inessenziale), nel senso che tutte le soluzioni dell'equazione $y'-y/x=0$ sono regolari in $x_0$.
Ciò è una conseguenza immediata di un notevole Teorema di Fuchs che di solito non viene esposto nei corsi universitari; senza entrare nel dettaglio (se qualcuno è interessato all'enunciato posso anche trascriverlo, basta chiedere), il punto $x_0$ è regolare perchè la funzione $a_1(x)=1/x$ ha in $0$ una singolarità polare d'ordine uno.
L'equazione differenziale $y'-y/x=0$ può essere riguardata alla luce della teoria delle singolarità per le EDO in campo complesso: si scopre che l'equazione ha sì un punto singolare in $x_0=0$ ($x$ in questo caso va riguardata come variabile complessa), ma tale punto singolare è di tipo regolare (od inessenziale), nel senso che tutte le soluzioni dell'equazione $y'-y/x=0$ sono regolari in $x_0$.
Ciò è una conseguenza immediata di un notevole Teorema di Fuchs che di solito non viene esposto nei corsi universitari; senza entrare nel dettaglio (se qualcuno è interessato all'enunciato posso anche trascriverlo, basta chiedere), il punto $x_0$ è regolare perchè la funzione $a_1(x)=1/x$ ha in $0$ una singolarità polare d'ordine uno.
Impressionante, non si finisce mai di studiare l'argomento equazioni differenziali, ogni giorno scopro qualcosa di nuovo
Ad esempio cosa si può dire dell'equazione differenziale
$ y'(x) = (x^3 - x)/(y(x)) $
che presenta il seguente campo vettoriale delle soluzioni
http://img182.imageshack.us/img182/4710/immaginea.jpg
Cosa succede nell'origine e tutto l'asse x ?
Ne ho trovata tantissime altre di equazioni che quando ne vai a plottare il campo di direzioni ti ritrovi con delle regioni di piano di forma più o meno bizzarra interamente colorate di nero. Colorate di nero nel senso che il programma traccia migliaia di soluzioni una attaccata all'altra come se fossero un'unica soluzione ""ritorta su se stessa"
Se riuscite a dirmi qualcosa di più ne sarei felice
Ad esempio cosa si può dire dell'equazione differenziale
$ y'(x) = (x^3 - x)/(y(x)) $
che presenta il seguente campo vettoriale delle soluzioni
http://img182.imageshack.us/img182/4710/immaginea.jpg
Cosa succede nell'origine e tutto l'asse x ?
Ne ho trovata tantissime altre di equazioni che quando ne vai a plottare il campo di direzioni ti ritrovi con delle regioni di piano di forma più o meno bizzarra interamente colorate di nero. Colorate di nero nel senso che il programma traccia migliaia di soluzioni una attaccata all'altra come se fossero un'unica soluzione ""ritorta su se stessa"
Se riuscite a dirmi qualcosa di più ne sarei felice
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