Le soluzioni di Schr\"odinger 1D non sono degeneri
Salve a tutti,
scrivo sotto Analisi Matematica perché il dubbio che mi è sorto è più di carattere analitico:
Siano [tex]\psi_1, \psi_2[/tex] 2 soluzioni dell'equazione di Schr\"odinger 1D con hamiltoniana [tex]H=\frac{P^2}{2m}+ U(X)[/tex] corrispondenti alla stessa energia [tex]E[/tex];
proiettando sulla base delle [tex]x[/tex] le equazioni sono
[tex]\begin{matrix}-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_1}{dx^2}+U(x) \psi_1=E \psi_1\\-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_2}{dx^2}+U(x) \psi_2=E \psi_2 \;.\end{matrix}[/tex]
Moltiplicando la prima per [tex]\psi_2[/tex], la seconda per [tex]\psi_1[/tex] e sottraendo membro a membro si ottiene [tex]\psi_1 \psi_2''-\psi_2 \psi_1''=0[/tex]
da cui [tex]\psi_1 \psi_2'-\psi_2\psi_1'=cost[/tex] e dato che per le condizioni di normalizzazione la funzione deve tendere asintoticamente a 0
sia le [tex]\psi[/tex] che le loro derivate devono tendere a 0; quindi il valore della costante è 0.
Infine abbiamo [tex]\frac{\psi_2'}{\psi_2}=\frac{\psi_1'}{\psi_1}[/tex] (1)
Ora è qui il passaggio che non mi torna: si dice che si può integrare e dire che [tex]log\psi_1=log\psi_2 + k[/tex] (2)
A me torna che l'equazione (1) sopra sia la derivata della (2), ma se ad esempio io non me ne accorgessi e volessi svolgere l'integrale otterrei
[tex]\int_{-\infty}^x \frac{\varphi(y)'}{\varphi(y)} dy[/tex],
a questo punto per cambiare variabili [tex]z=\varphi(y)[/tex] e quindi risolvere l'integrale dovrei essere sicuro che la [tex]\varphi[/tex] è un diffeomorfismo,
cosa che quasi sicuramente non avverrà dato che le funzioni d'onda quantistiche in genere hanno sempre una "pancia"
che sta a indicare la zona di maggior probabilità di trovare la particella...dove sta il problema?
scrivo sotto Analisi Matematica perché il dubbio che mi è sorto è più di carattere analitico:
Siano [tex]\psi_1, \psi_2[/tex] 2 soluzioni dell'equazione di Schr\"odinger 1D con hamiltoniana [tex]H=\frac{P^2}{2m}+ U(X)[/tex] corrispondenti alla stessa energia [tex]E[/tex];
proiettando sulla base delle [tex]x[/tex] le equazioni sono
[tex]\begin{matrix}-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_1}{dx^2}+U(x) \psi_1=E \psi_1\\-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi_2}{dx^2}+U(x) \psi_2=E \psi_2 \;.\end{matrix}[/tex]
Moltiplicando la prima per [tex]\psi_2[/tex], la seconda per [tex]\psi_1[/tex] e sottraendo membro a membro si ottiene [tex]\psi_1 \psi_2''-\psi_2 \psi_1''=0[/tex]
da cui [tex]\psi_1 \psi_2'-\psi_2\psi_1'=cost[/tex] e dato che per le condizioni di normalizzazione la funzione deve tendere asintoticamente a 0
sia le [tex]\psi[/tex] che le loro derivate devono tendere a 0; quindi il valore della costante è 0.
Infine abbiamo [tex]\frac{\psi_2'}{\psi_2}=\frac{\psi_1'}{\psi_1}[/tex] (1)
Ora è qui il passaggio che non mi torna: si dice che si può integrare e dire che [tex]log\psi_1=log\psi_2 + k[/tex] (2)
A me torna che l'equazione (1) sopra sia la derivata della (2), ma se ad esempio io non me ne accorgessi e volessi svolgere l'integrale otterrei
[tex]\int_{-\infty}^x \frac{\varphi(y)'}{\varphi(y)} dy[/tex],
a questo punto per cambiare variabili [tex]z=\varphi(y)[/tex] e quindi risolvere l'integrale dovrei essere sicuro che la [tex]\varphi[/tex] è un diffeomorfismo,
cosa che quasi sicuramente non avverrà dato che le funzioni d'onda quantistiche in genere hanno sempre una "pancia"
che sta a indicare la zona di maggior probabilità di trovare la particella...dove sta il problema?
Risposte
up...
lo so che potrà sembrare banale, ma integrare la (1) è rigoroso?
lo so che potrà sembrare banale, ma integrare la (1) è rigoroso?
Scusa Fox, non capisco cosa ti lasci perplesso.
Visto che, come credo di capire, nelle tue ipotesi è [tex]$\varphi$[/tex] è derivabile e [tex]$>0$[/tex], si ha [tex]$[\ln \varphi]^\prime =\frac{\varphi^\prime}{\varphi}$[/tex].
Quindi quell'integrale lì è immediato e non c'è strettamente bisogno di una sostituzione.
Visto che, come credo di capire, nelle tue ipotesi è [tex]$\varphi$[/tex] è derivabile e [tex]$>0$[/tex], si ha [tex]$[\ln \varphi]^\prime =\frac{\varphi^\prime}{\varphi}$[/tex].
Quindi quell'integrale lì è immediato e non c'è strettamente bisogno di una sostituzione.
ok da una parte mi torna questo ragionamento,
ma dall'altra volendo fare il cambio perché non torna bene?
Cioè se io volessi cambiare la variabile d'integrazione magari dovrei farlo su ogni pezzo in cui la derivata della [tex]\varphi[/tex] è diverso da 0?
(si giusto penso sia così, che scemo...)
grazie
ma dall'altra volendo fare il cambio perché non torna bene?
Cioè se io volessi cambiare la variabile d'integrazione magari dovrei farlo su ogni pezzo in cui la derivata della [tex]\varphi[/tex] è diverso da 0?
(si giusto penso sia così, che scemo...)
grazie
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